高数——微分中值定理之罗尔定理——学习笔记（20）

罗尔中值定理

罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下： 如果函数f(x)满足以下条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续

（2）在(a,b)内可导

（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0

证明过程

证明：因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，分两种情况讨论：

1. 若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数，结论显然成立。

2. 若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值费马引理点，由条件f(x)在开区间(a,b)内可导得f(x)在ξ处可导，故由推知：f'(ξ)=0。

罗尔中值定理的几何意义

若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。

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