矩阵初等变换的变换矩阵

2019-10-25 本文已影响0人 Azur_wxj

0. 符号

设矩阵 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times m}$ ，按列分块以及按行分块是 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_m}]=\begin{bmatrix}\boldsymbol{b_1}\\\boldsymbol{b_2}\\\vdots\\\boldsymbol{b_n}\end{bmatrix}$
$\boldsymbol{e}_i$ 是第 $i$ 位为 $1$ ，其余为 $0$ 的向量：
$\begin{array}{cccccccc} \boldsymbol{e}_i=&[0&0&\cdots&1&0&\cdots&0]^T\\ &&&&{\small \uparrow\\ i}&&&\\ \end{array}$
具体尺寸根据上下文来确定。
$\boldsymbol{I}$ 是单位阵，具体大小由实际乘法中的位置决定。对于 $n\times n$ 的单位阵可以表示为 $\boldsymbol{I}=[\boldsymbol{e_1},\cdots,\boldsymbol{e_n}]=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e_1}^T\\\boldsymbol{e_2}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_n}^T\end{bmatrix}$

1. 初等行变换

初等行变换包含三种运算：

调换任意两行
某一行乘以一个非零数
某一行乘以一个非零数加到另一行上

1.1 调换任意两行

设 $\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}$ 表示将单位阵的第 $i,j$ 两行互换，即
$\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}=[\boldsymbol{e_1}^T,\cdots,\boldsymbol{e_j}^T,\cdots,\boldsymbol{e_i}^T,\cdots,\boldsymbol{e_n}^T]^T$

命题： $\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\boldsymbol{A}$ 的结果，等价于将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i,j$ 两行互换。

$\begin{split} \boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e_1}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_j}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_i}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_n}^T\end{bmatrix}[\boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_i},\cdots,\boldsymbol{a_j},\cdots,\boldsymbol{a_m}]\\ &=\begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_m} \end{bmatrix} \end{split}$
因为 $\boldsymbol{e_p}^T\boldsymbol{a_q}=a_{pq}$ ，于是上面的矩阵是
$\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1i}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{1m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&\cdots&a_{ji}&\cdots&a_{jj}&\cdots&a_{jm}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{ii}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{im}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{ni}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nm} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{b_1}\\\vdots\\\boldsymbol{b_j}\\\vdots\\\boldsymbol{b_i}\\\vdots\\\boldsymbol{b_n}\end{bmatrix}=\boldsymbol{A}_{i\leftrightarrow j}$

1.2 某一行乘以一个非零数

设 $\boldsymbol{I}_{ki}$ 表示将单位阵的第 $i$ 行乘以一个非零数 $k$ ，即
$\boldsymbol{I}_{ki}=[\boldsymbol{e_1}^T,\cdots,k\boldsymbol{e_i}^T,\cdots,\boldsymbol{e_n}^T]^T$

命题： $\boldsymbol{I}_{ki}\boldsymbol{A}$ ，等价于将\boldsymbol{A}的第 $i$ 行乘以 $k$ 。

$\begin{split} \boldsymbol{I}_{ki}\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e_1}^T\\\vdots\\k\boldsymbol{e_i}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_n}^T\end{bmatrix}[\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_m}]\\ &=\left[k^{\mathbf{1}\{ r=i \}}\boldsymbol{e}_r^T\boldsymbol{a}_c\right]_{r,c}\\ &=\left[k^{\mathbf{1}\{ r=i \}}a_{rc}\right]_{r,c} \end{split}$

于是，结果的矩阵可以发现，若 $k^{\mathbf{1}\{ r=i \}}\equiv1$ ，则结果矩阵是 $[a_{rc}]_{r,c}=\boldsymbol{A}$ ，而 $k$ 出现，当且仅当 $r=i$ ，即第 $i$ 行，于是命题成立。

1.3 某一行乘以一个非零数加到另一行上

设 $\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}$ 表示将单位阵的第 $i$ 行乘以一个非零数 $k$ 加到第 $j$ 行，即
$\boldsymbol{I}_{ki}=[\boldsymbol{e_1}^T,\cdots,\boldsymbol{e_i}^T,\cdots,k\boldsymbol{e_i}^T+\boldsymbol{e_j}^T,\cdots,\boldsymbol{e_n}^T]^T$

命题： $\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}\boldsymbol{A}$ ，等价于 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行乘以一个非零数 $k$ 加到第 $j$ 行。

与上面的证明方法类似，但是结果的第 $j$ 行为 $(\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}\boldsymbol{A})_{j,:}=[(k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T)\boldsymbol{a}_1,(k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T)\boldsymbol{a}_2,\cdots,(k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T)\boldsymbol{a}_m]$

其中对 $c=1,2,\cdots,m$ ，有 $(k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T)\boldsymbol{a}_c=k\boldsymbol{e}_i^T\boldsymbol{a}_c+\boldsymbol{e}_j^T\boldsymbol{a}_c=ka_{ic}+a_{jc}$
从而 $(\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}\boldsymbol{A})_{j,:}=[ka_{i1}+a_{j1},ka_{i2}+a_{j2},\cdots,ka_{im}+a_{jm}]=k\boldsymbol{b}_i+\boldsymbol{b}_j$

即结果的第 $j$ 行是 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行乘以一个非零数 $k$ 加到第 $j$ 行，其余行与 $\boldsymbol{A}$ 相同。

2. 初等列变换

初等列变换包含三种运算：

调换任意两列
某一列乘以一个非零数
某一列乘以一个非零数加到另一列上

我们先来证明下面三个命题：

$\boldsymbol{I}_{ki}$ 的转置，就是将 $\boldsymbol{I}$ 的第 $i$ 列乘以 $k$ 。这是显然的，因为 $\boldsymbol{I}_{ki}$ 是对称阵，故而它的转置仍然保持不变，而 $\boldsymbol{I}_{ki}$ 中， $k$ 位于第 $i$ 行，也位于第 $j$ 列，从而命题成立。
$\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}$ 的转置，就是将 $\boldsymbol{I}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列交换（假设 $i<j$ ）。因为 $\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_1^T\\\vdots\\\boldsymbol{e}_j^T\\\vdots\\\boldsymbol{e}_i^T\\\vdots\\\boldsymbol{e}_n^T\end{bmatrix}$ 于是 $\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}^T=[\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_j,\cdots,\boldsymbol{e}_i,\cdots,\boldsymbol{e}_n]$ 显然转置操作没有改变各个列的相对位置， $\boldsymbol{I}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列交换了。
$\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}$ 的转置，就是将 $\boldsymbol{I}$ 的第 $i$ 列乘以 $k$ 再加到第 $j$ 列上去。因为 $\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_1^T\\\vdots\\k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T\\\vdots\\\boldsymbol{e}_n^T\end{bmatrix}$ 于是 $\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}^T=[\boldsymbol{e}_1,\cdots,k\boldsymbol{e}_i+\boldsymbol{e}_j,\cdots,\boldsymbol{e}_n]$

综上，我们仍记 $\boldsymbol{I}_{ki}$ 表示 $\boldsymbol{I}$ 的第 $i$ 列乘以非零数 $k$ 的结果，它等于 $\boldsymbol{I}_{ki}^T$ ；记 $\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j}$ 表示 $\boldsymbol{I}$ 的第 $i$ 列乘以非零数 $k$ 加到第 $j$ 列的结果，它同样等于 $\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}^T$ ；记 $\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j}$ 表示 $\boldsymbol{I}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列互相交换的结果，它等于 $\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}^T$ 。

2.1 调换任意两列

命题： $\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j}$ 的结果，等价于将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i,j$ 两列互换。

因为
$\begin{split} \boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j} &=\left(\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j}^T\boldsymbol{A}^T\right)^T\\ &=\left(\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\boldsymbol{A}^T\right)^T \end{split}$

因为对 $\boldsymbol{A}$ 的转置的第 $i,j$ 行互换，这就等于把 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i,j$ 列互换，所以命题成立。

2.2 某一列乘以一个非零数

命题： $\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{ki}$ 的结果，等价于将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列乘以 $k$ 。

因为
$\begin{split} \boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{ki} &=\left(\boldsymbol{I}_{ki}^T\boldsymbol{A}^T\right)^T\\ &=\left(\boldsymbol{I}_{ki}\boldsymbol{A}^T\right)^T \end{split}$

因为对 $\boldsymbol{A}$ 的转置的第 $i$ 行乘以 $k$ ，这就等于给 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列乘以 $k$ ，所以命题成立。

2.3 某一列乘以一个非零数加到另一列上

命题： $\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\leftrightarrow} j}$ 的结果，等价于将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列乘以 $k$ 再加到第 $j$ 列上。

因为
$\begin{split} \boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j} &=\left(\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j}^T\boldsymbol{A}^T\right)^T\\ &=\left( \boldsymbol{I}_{ ki \rightarrow j}\boldsymbol{A}^T\right)^T \end{split}$

因为把 $\boldsymbol{A}$ 的转置的第 $i$ 行乘以 $k$ 再加到第 $j$ 行，就等于把 $\boldsymbol{A}$ 的转置的第 $i$ 列乘以 $k$ 再加到第 $j$ 列上。

3. 初等变换保秩

命题：对任意矩阵进行初等行/列变换，矩阵的秩不变。

设任意矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，对其初等行变换对应于左乘 $\boldsymbol{I}_{ki},\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j},\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}$ 中的一个，同样对其初等列变换对应于右乘 $\boldsymbol{I}_{ki},\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j},\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j}$ 中的某一个，于是 $\boldsymbol{A}$ 经过有限次初等变换得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，表示为 $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{E}_{r_1}\cdots\boldsymbol{E}_{r_n})\boldsymbol{A}(\boldsymbol{E}_{c_1}\cdots\boldsymbol{E}_{c_m})$ 其中 $\boldsymbol{E}_{r_i}\in\{\boldsymbol{I}_{ki},\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j},\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\}, \boldsymbol{E}_{c_i}\in\{ \boldsymbol{I}_{ki},\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j},\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j} \}$ 。