四.数列极限

2022-01-15 本文已影响0人傻疯子

1.数列极限定义

$\exists\epsilon>0，\forall N >0，n>N时，恒有|X_n-a|<\epsilon，则\lim_{x \to \infty}X_n=a$

用定义法分三步：先写距离 $|Xn-a|<\epsilon$ ,反解出n的范围： $n>g(\epsilon)$ ,最后取 $N=[g(\epsilon)]+1$

记定理：若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则其任何子列 $\{ a_{n_k} \}$ 也收敛，且 $\lim_{k \to \infty}a_{n_k}=\lim_{n \to \infty}a_n$ .

2.收敛数列的性质

唯一性：极限存在必唯一

有界性：极限存在数列有界

需记保号性：数列存在极限 $a>0$ 或 $a<0$ ，存在正整数N，当n>N时， $a_n>0或a_n<0$

3.极限运算法则

运算的前提是极限存在

4.夹逼准则

$y_n\leq x_n \leq z_n$ ， $y_n$ 和 $z_n$ 极限存在并相等，则能得出数列{ $x_n$ } 相同的极限

5.单调有界准则

单调有界数列必有极限，如单调增加且有上界，则极限存在。

遇到递推式基本是用单调有界准则。