证明面积不超过1/8的一组凸形状可以平移填充进面积为1的凸形状内

假设是中的一个凸图形，其面积为1，并假设是中的一组（可能是无限个）凸图形。对于中的每个凸图形，存在一个常数使得。如果存在一个映射，使得对于中的每个，通过向量平移后的内部包含在内，并且任何中两个不同的和在通过和平移后，的内部不与的内部重叠，那么我们说中的凸形状可以通过平移的方式被填充到内。证明如果中凸形状的总面积最多为，则它们可以仅通过平移的方式被填充到内。

证：

1：缩放不变性

• 由于，并且的面积为 1，按照缩放公式，图形的面积为。

• 因此，每个图形的面积是，且，因为题目条件中要求中所有图形的总面积不超过，这也为后续的填充方案提供了面积上的约束。

2：总面积限制

• 假设中所有凸图形的总面积为，根据题目条件，。

• 每个图形的面积是（如前所述），因此中每个都符合面积不超过的限制。我们接下来利用这一面积限制来设计平移填充策略。

3：平移映射的构造

• 我们的目标是构造一个映射，使得每个图形可以平移到内，且不同的平移后不会重叠。

• 由于是凸的，我们可以选取一个内接正方形来进行构造。设的边长为，则的面积为。

• 我们将利用内接正方形的性质，帮助我们进行平移填充。

4：缩放与填充正方形

• 由于每个图形的面积是，且，可以推导出。

• 通过缩放图形到一个合适的大小，我们确保它的面积不会超过，即每个图形被缩放后面积最大为。

• 因为是，且，则可以被缩放到一个边长为的正方形内。

• 进一步，假设我们将内的正方形划分为 8 个小正方形。每个小正方形的边长为，其面积为。每个小正方形的面积足够容纳缩放后的图形，因为的面积为，而每个小正方形的面积是，因此，面积上满足填充条件。

• 由于图形是凸的，即使它的形状发生了变化，缩放后的仍然能够适应在这些小正方形内。

5：平移策略

• 将内接正方形分成 8 个小正方形后，对于每个图形，我们将其缩放至适当大小（如前所述，边长最大为），然后将其平移到中一个未被占据的小正方形的中心。

• 通过这种平移方式，保证了每个图形都能恰当地放入内，并且它们不会重叠。

6：不重叠性证明

• 为了确保不同的图形和在平移后不重叠，我们可以利用以下策略：

• 由于每个图形在平移前都被缩放到一个小正方形内，而每个小正方形的面积足够容纳，且每个小正方形只能容纳一个图形，因此，平移后的图形和不会有交集。

• 因为小正方形之间没有重叠，而且每个被平移到一个独立的小正方形内，最终平移后的图形之间不会相互重叠。

综上，我们成功地构造了平移映射，使得所有图形通过平移后能够放入内，并且它们之间不会重叠。

• 因此，若中凸形状的总面积最多为，则它们可以通过平移的方式被填充到内。