数理方程-浅谈齐次化原理

2018-10-24 本文已影响347人流星落黑光

笔者刚学《数理方程》不久，就齐次化原理谈谈自己的理解，有不对的地方欢迎交流批评指正。

齐次化原理是数理方程中非常重要的定理，在各种情况的方程都会用到。在此以最简单的一维波动方程柯西问题为例：（为方便起见，命名为方程A）
$\left\{\begin{matrix} \frac{ \partial^2u}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2u}{\partial x^2} = f(x,t) ,(t>0,-\infty<x<+\infty), \\ t=0: u=\varphi(x), \frac{ \partial u}{\partial t}=\psi(x), (-\infty<x<+\infty). \end{matrix}\right.$

解决本题的第一步是，由“叠加原理”，分成一个 $f=0$ 的问题和一个 $\varphi=\psi=0$ 的问题。第二个问题可由达朗贝尔公式直接求解，第一个方程使用“齐次化原理”化成第二个方程的形式，再由达朗贝尔公式求解。

下面具体分析第二个方程的“齐次化原理”部分：（方程B）
$\left\{\begin{matrix} \frac{ \partial^2u}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2u}{\partial x^2} = f(x,t) ,(t>0,-\infty<x<+\infty), \\ t=0: u=0, \frac{ \partial u}{\partial t}=0, (-\infty<x<+\infty). \end{matrix}\right.$

首先给出齐次化原理的定义：
构造一个方程组（方程C）
$\left\{\begin{matrix} \frac{ \partial^2W}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2W}{\partial x^2} = 0 ,(t>\tau,-\infty<x<+\infty), \\ t=\tau: W=0, \frac{ \partial W}{\partial t}=f(x,\tau), (-\infty<x<+\infty). \end{matrix}\right.$
若它的解是 $W(x,t;\tau)$ ，则原问题的解为 $u(x,t) = \int_0^t W(x,t;\tau)d\tau$

下面介绍它的意思：

首先是这个问题的物理模型，毕竟我们是数理方程课，几乎所有的数学结论都有物理解释，而反过来也可以从物理现象为数学定理提供思路。
本题（方程B）描述的是，一根弦，无限长（即不考虑边界的影响），且在初始时刻（ $t=0$ )，绳子的位置在正中间的平衡位置（ $u=0$ ）（不考虑重力，只考虑绳子本身的微小振动），也没有初始速度（ $\frac{ \partial u}{\partial t}=0$ ）。但每时每刻有外力 $f(x,t)$ 作用于绳子。
首先，为了简单研究，我们将连续的时间分成一段一段的，这也是一个微元法的思想，先切割成小段离散的研究，最后再取极限变成连续的情况。打个比方，我们研究 $t\in [0,5s]$ 的绳子运动，那我们就将它看成五个1秒( $\Delta t = 1$ )，每秒各个部分受到的力不变。
再由物理中的动量守恒定律，简单的写就是 $ft = m\Delta v$ ，冲量等于动量的增量。
由这个物理定律，我们可以把一个“没有初速度，但受到力”的运动等同与“获得一个初速度的增量，不受外力”的运动。按照这个思路，我们写出方程C。
但是由于这个力f并不能一下变成一个初速度，误差太大，应该任何时刻的力都变成一个速度增量。如果在我们构造的例子里，我们可以近似的将每秒钟的力变成一个速度增量，也就是绳子每过一秒就获得一个速度增量。再由叠加原理，我们可以证明在本问题中（方程B），力对绳子的作用近似的等于由好多个时刻的速度增量的作用叠加近似。
也就是说，在我们的例子中，可以给出5个方程，分别表示五个五次初速度叠加，最后他们的解的和等于原问题的解：
$\left\{\begin{matrix} \frac{ \partial^2W}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2W}{\partial x^2} = 0 ,(t>\tau_i), \\ t=\tau_i: W=0, \frac{ \partial W}{\partial t}=f(x,\tau_i). \end{matrix}\right.$
其中 $\tau_i = i,i=0,1,2,3,4$ 表示五个时刻。当 $i=0$ ，表示第一秒的力转化为 $\tau_0$ 时刻的初速度。当 $i=1$ ，表示第二秒的力转化为 $\tau_1$ 时刻的初速度，这条绳子在 $t\in [0,1s]$ 内静止不懂，在1s时获得一个初速度，之后由方程的第一个式子描述的运动开始运动。后几个类似。
当我们解除这五个方程的解 $W_i(x,t),i=0,1,2,3,4$ ，（求解的时候需要用一步换元把 $t>\tau$ 改成 $t'>0$ ，之后套用达朗贝尔公式），则原方程（一根绳子收到5s的外力）的解 $u(x,t) = W_0(x,t) + W_1(x,t) + W_2(x,t) + W_3(x,t) + W_4(x,t)$

如果明白了上面的例子，那么再回到定理的定义， $W(x,t;\tau)$ 就是每个微小时刻 $t\in [\tau,\tau+\Delta t]$ 的外力转化为速度增量后的解，若 $\Delta t \rightarrow 0$ ，连加就变成了公式中的积分 $u(x,t) = \int_0^t W(x,t;\tau)d\tau$

数理方程-浅谈齐次化原理

下面介绍它的意思：

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