《天才引导的历程》
希波克拉底
为了计算图形的面积，我们可以将复杂图形，通过尺规作图和勾股定理，转化成面积不变的图形：
- 长方形 => 正方形
- 三角形 => 长方形
- 多边形 => n * 三角形
- 2 正方形 => 1 正方形
通过勾股定理导出的这些方法，已经足够睿智了，但希腊人的智慧还不止于此，他们还尝试去计算由曲线包围的图形的面积。一种特殊的月牙形的面积，依然通过勾股定理。
不过同时，对于如何将一整个圆转化成正方形，希腊人也做了尝试，但从未成功过。这在千年后被证明是不可能的，因为尺规作图是在「代数数」的范围内做加减乘除根号运算，因而得到的也只能是另一个「代数数」，而pi确是一个所谓「超越数」
我也是头一回看到这种分类：
实数 = 代数数 + 超越数
欧几里得
《几何原本》自然是欧几里得的杰作，其中收录不少前人的理论和证明，但在其基础上，欧几里得的工作更是开拓性的。他把整本《几何原本》架设在23条定义、5条公设、5条公理上，而其中最神奇的一点在于，他把「平行线公设」作为公设来对待，而不是定理。
一条直线与两条直线相交，若在某一侧的两内角之和小于两直角之和，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
再来看下5条公理，前三条让我想到了群论
- 与同一事物相等的事物，彼此也�相等。
- 等量加等量，其和仍相等。
- 等量减等量，其差仍相等。
- 彼此能重合的事物是全等的。
- 整体大于部分。
之后对于勾股定理的证明，是全等三角形的完美应用，当然，辅助线做得真是漂亮啊！
数论方面，GCD自然不用说，非常经典。素数存在无数个的证明，也是简单睿智！
阿基米德
阿基米德在物理上的浮力定理，中学都学过。不知道的是，他在给出圆面积的计算公式上，也有很神奇的思路。他用圆的内接和外接正多边形来夹圆的面积，最终如果多边形的边无限多，则内接和外接多边形的面积都等于 C * r，因而圆的面积也就是 S = C * r。
而对于圆周和直径的比例关系，阿基米德依然选择从正六边形出发 ，最终在96边形处，求出了一个pi的近似值。
海伦
通过三角形的三个边的边长，来获得三角形的面积。记得高中时候肯定是知道这个公式的，但重新来看证明方法，还是不得不感叹，这真是利用相似三角形和比例的牛逼证明。
h = (a + b + c) / 2
S = [h * (h - a) * (h - b) * (h -c)] ^ 0.5
卡尔达诺
爱赌博的卡尔达诺，和他的徒弟费拉里，共同解决了实系数一元三次方程和四次方程的通用解，也是因为他们找不到五次方程的通用解，才有了后来的两位天才 Abel 和 Galois。
牛顿
牛顿，广为人知的牛顿，在数学方面至少有两点贡献是相当卓越的。
- 二项式定理
- 微积分 => pi值的精确计算
值得记录的一点是，牛顿最多产的那两年，正好是他因为英国国王复辟而躲回家乡的两年。而在他晚年，更多的是在伦敦皇家学会里任公职。但即使在晚年，他依然只用了一个晚上，就解出了伯努利的最速降曲线问题。
而由于他就读的是三一学院，他还对《圣经》做过很多分析，包括先知的年代和约柜的尺寸。不过据说他的研究，不支持耶稣是三位一体中的一元。
伯努利
伯努利是两兄弟，是从莱布尼兹，也就是和牛顿共同创立微积分的这位。
莱布尼兹解出了三角形数的级数，伯努利兄弟发现调和级数是发散的。
值得注意的是，高斯师从约翰 伯努利。
调和级数，harmonic series，名字来源于音乐理论中的泛音列，即泛音的频率是根音的2倍，3倍，4倍... 。对应的，振动弦的长度是原始长度的 1/2, 1/3, 1/4...。
欧拉
数学界的巨巨，在数学的各个领域都有欧拉定理，欧拉公式。
1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... = pi^2 / 6
这个级数的计算简直惊为天人，多强的悟性和直觉才能把他和 sinx / x 的泰勒展开式关联起来，然后再根据解析几何里的根，把 sinx / x 分解成多个 ( 1 - nx) 的表达式，然后再相乘展开。
Sigh... 真天才！
目前看到过的其他欧拉相关的公式还有：
- 数论
a ^ ( fi(p) ）= 1 (mod p)
- 图论
F + V - E = 2
- 复分析
e ^ (pi * i) = -1
康托
之前看过一点集合论，所以对康托已经有了些认识，知道了康托在无限上的研究，知道了无线也是分大小的，也看到了如何从空集开始构建整个数的体系，自然数，实数。暗暗佩服他们的抽象能力。
也看到了罗素悖论后，ZFC公理集合论，感受到了公理在数学体系中的重要性，之后这块还要继续深入学些，希望能学扎实了。
说实话，集合论和抽象代数里的东西，都急不得，因为基本都是在理解为什么要构建概念的基础上，再学着证明整个体系里的定律，很少有计算，主要都在于理解，对照，关联。
总结一句
这是一本非常好的数学科普读物，能在其中看到3前年来，人类是一步一步建造数学金字塔的，而那些最牛逼的能工巧匠和天才们又是在什么样的社会环境和知识氛围中创造出了一砖一瓦。说实话，除了欧几里得那块的几何证明有些看着反馈，其他的推理计算都还是非常精彩的。
此书值得一读。
待继续学习
- 完全数
- 摆线
- 二项式定理
- 各种级数
- 球的体积公式，怎么来的？
