3D游戏引擎中常用的矩阵变换
2017-11-30 本文已影响0人
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在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
基本运算
矩阵相乘
- 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘。
-
矩阵相乘不遵守交换律(Commutative)，也就是说A ⋅ B ≠ B ⋅ A
缩放位移矩阵
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(Sx, Sy, Sz));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(Tx, Ty, Tz));
旋转矩阵
- 欧拉角
-
Y 偏航角(yaw)
绕y轴旋转，类似我们的摇头动作
-
X 俯仰角(pitch)
绕x轴旋转，类似我们的点头动作
-
Z 滚转角(roll)
绕z轴旋转，你可以想象飞船在做360°翻转动作
-
- 示例
矩阵乘法是不遵守交换律的，所以它们的顺序很重要。
当矩阵相乘时，在最右边的矩阵是第一个与向量相乘的，所以你应该从右向左阅读。
// 在代码中我们先位移再旋转，实际的变换却是先应用旋转再是位移
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
正射投影矩阵
将OpenGL坐标系映射到指定宽高的屏幕坐标
图片转自https://learnopengl.com
// 参数：左边界，右边界，下边界，上边界，近平面，远平面
glm::ortho(float L, float R, float B, float T, float N, float F);
// 示例
glm::ortho(0.0f, width, 0.0f, height, 0.0f, 100.0f)
- 近平面和远平面构成的长方体箱子（平截头体）之外的内容都会被裁剪
- 屏幕上的点会被缩小宽高比例，并移动(以x轴为例)
- (R + L) / (R - L)，即将非平截头体内的内容移出 - 因为OpenGL是右手坐标系，近平面
1.0f，远平面-1.0f，为了转化为我们常见远近认知（左手坐标系），z轴进行了负缩放
透视投影矩阵
3D游戏中的透视效果，离的越远的东西看起来越小
图片转自https://learnopengl.com
// 参数：视野弧度，宽高比，近平面，远平面
glm::perspective(float F, float A, float N, float F)
// 示例
glm::perspective(glm::radius(45.0f), width / height, 0.1f, 100.0f);
- 近平面和远平面构成的不规则箱子（平截头体）之外的内容都会被裁剪
- 视野越大，看到的东西越多，通常为
glm::radius(45.0f) - 近平面不能为
0，这样整个屏幕都会绘制到一个点上，通常为0.1f - 近平面设置太大，表现为物体太靠近时会穿过去（消失）
观察矩阵
顾名思义，是一个看着目标物体的矩阵，模拟出一个摄像机
// 上图中的f，s，u分别对应以下变量
glm::vec3 f = glm::normalize(center - eye)
glm::vec3 s = glm::normalize(glm::cross(f, up))
glm::vec3 u = glm::cross(s, f)
// 参数：摄像机位置，目标点，上向量
glm::lookAt(glm::vec3 &eye, glm::vec3 ¢er, glm::vec3 &up)
// 示例
glm::vec3 cameraPos = glm::vec3(0.0f, 0.0f, 3.0f); // 摄像机位置向量
glm::vec3 cameraFront = glm::vec3(0.0f, 0.0f, -1.0f); // 摄像机方向向量
glm::vec3 cameraUp = glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f); // 上向量
// 摄像机位置向量 + 摄像机方向向量 = 目标点向量
glm::lookAt(cameraPos, cameraPos + cameraFront, cameraUp);
- 设置摄像机位置时，注意是右手坐标系
- 通过摄像机位置向量 + 摄像机方向向量，可以得到摄像机方向
- 通过上向量叉乘摄像机方向可以得到右向量(两个向量叉乘的结果会同时垂直于两向量)
在一个3D游戏，顶点着色器最终都会乘上三个矩阵
// 透视矩阵 * 观察矩阵 * 模型变幻矩阵 * 顶点信息
gl_Position = projection * view * model * vec4(a_position, 1);
摄像机变换
依托观察矩阵，我们可以很方便的模拟出一个摄像机，并实现相关的变换。
摄像机移动
操作观察矩阵中的cameraPos变量
- 前进(＋) / 后退(－)：摄像机方向 * 移动距离
cameraPos += cameraFront * distance;
- 右移(＋) / 左移(－)：摄像机方向叉乘上向量 * 移动距离
cameraPos += glm::normalize(glm::cross(cameraFront, cameraUp)) * distance;
- 上移(＋) / 下移(－): 两次叉乘得到上向量，我们称为格拉姆—施密特正交化(Gram-Schmidt Process)
cameraPos += glm::normalize(glm::cross(glm::cross(cameraFront, cameraUp), cameraFront)) * distance;
摄像机旋转
操作观察矩阵中的cameraFront变量
float pitch = glm::radians(45.0f); // 俯仰角
float yaw = glm::radians(30.0f); // 偏航角
cameraFront.y = sinf(pitch); // 摄像机方向y
float newRadius = cosf(pitch); // 俯仰后偏航半径变化
cameraFront.x = newRadius * sinf(yaw); // 摄像机方向x
cameraFront.z = -newRadius * cosf(yaw); // 摄像机方向z
cameraFront = glm::normalize(cameraFront); // 单位化
后记：
依赖游戏引擎，你可能并不需要实现这些，但是这些原理是你有必要掌握的。
3D的世界很精彩，我们要学习的也很多，希望能在这条路上越走越远。
与君共勉！
