2025-06-15 （Emergent Holographic
(http://arxiv.org/abs/2506.06595)
Tadashi Takayanagi 关于holography的一些洞见和展望。
通过 Tadashi 的视角，或者说借用他的智慧与见地，我们想回答一个问题：从 holography 或 AdS/CFT 对偶的研究中，我们究竟获得了关于引力、时空以及量子引力的哪些启示？基于 Tadashi 的文章，下面我们会提出更多问题。
或许可以化用彭罗斯的一本书名，Tadashi 的这篇 essay 也可以概括为："The Fashion, Faith, and Fantasy in holography"
The Fashion
Fashion 可以理解为一种研究范式或指导思想。当下 holography 的 fashion 应该是 quantum information theory。量子引力与时空的答案，可能仍需回到量子本身来寻找。
还记得 Sidney Coleman 在 1994 年那场题为 Quantum Mechanics in Your Face 的演讲中说的一句话：
What I have tried to convince you is that what it looks like (causal evolution according to quantum mechanics) is ordinary everyday life.
尽管我们还不能完全理解量子力学，但我们似乎已经获得了一些对量子力学的直觉，并借此解决了一些问题。同样地，我们也希望从量子信息理论中获得一些直觉，来帮助我们理解引力。
例如，我们知道在半经典引力下，许多佯谬（如信息佯谬、虫洞长度佯谬）可以通过考虑引力的非微扰效应来消除。其原因是这些非微扰效应会改变 Hilbert 空间的结构，也会改变算符代数的结构。但这些变化所带来的后果尚未被完全研究清楚。那么，非微扰效应与量子信息理论之间又有什么联系呢？
The Faith or The Fact
Faith 或 fact，这一部分指的是我们已经取得的进展。核心在于全息纠缠熵，包括 RT 和 HRT 公式。从这些工作中我们得到的启示是：量子纠缠与时空几何结构密切相关。这些进展集中体现在 entanglement wedge reconstruction 和 QES（quantum extremal surface formula）上。
首先来看 RT 公式：
它与黑洞熵公式形式一致：
一个自然的问题是：为什么一个最经典的量——RT 面的面积，会与一个最量子的量——纠缠熵相等？在计算层面上，这可以通过 replica trick 来理解。有没有更深层次的理解方式呢？ER=EPR 是一种可能的解释，有趣的是，Tadashi 在文中并未提到 ER=EPR。
或者，能否从更现代的观点出发来看这个问题？我们可以构造出无穷多个满足微分同胚不变性的引力可观测量，它们似乎对应着某些量子信息量。那么是否存在无穷多个类似于 RT 面面积的引力可观测量，可以用来描述量子纠缠呢？“Entanglement = anything” 吗？
虽然纠缠熵可以通过 Tomita-Takesaki 理论严格定义，但纠缠本身的定义或衡量方式，与量子复杂度一样，都具有一定的模糊性（ambiguity）。
Tadashi 提出了这样一个问题：
How does the diffeomorphism invariance of gravity emerge from quantum information?
物理上的可观测量应当都是微分同胚不变的。例如，一个局域算符本身不是微分同胚不变的，因此不是一个真正的物理可观测量。获得微分同胚不变可观测量的一种方法是引入关系型观测量（relational observable），即考虑一些相对观测量。然而，dressing 的方法有无穷多种，不同的 dressing 方法会产生不同的可观测量，但它们具有相同的物理性质。
如果这些可观测量都在对偶场论中有对应的描述，就会产生一个问题：在量子理论中，是否真的存在无穷多个物理性质相同但形式不同的可观测量？
QES 公式的一个重要推广是岛屿公式（island formula）。岛屿公式适用于一般的与引力耦合的量子场论中的纠缠熵计算，不依赖于 AdS 时空，似乎是朝向 ER=EPR 更进一步的结果。
岛屿公式揭示了量子纠缠的一个重要特性：纠缠可以作为量子超距传输的资源。随着纠缠的增加，可传输的信息也愈加复杂，从一个 qubit 到一本书，再到整个黑洞。
此外，这里似乎存在一种类似热力学第二定律的现象：并非所有纠缠都能用于传递信息，有些纠缠像热量一样被“浪费”了。这些被浪费的纠缠则用于打开 island，对应岛屿公式中的面积项。
The Fantasy
Fantasy 的部分是空间与时间的涌现。我们相信纠缠与空间的涌现密切相关，而量子复杂度也可能与空间的涌现有关。这两者之间的区别是什么？
表面上看，当我们考虑纠缠时，是将一个量子态划分为两部分，并分析它们之间的纠缠；而当我们考虑复杂度时，则是关注量子态随时间演化过程中的复杂程度。当然，也有研究提出了子区域复杂度的概念。
再比如，对于热态，我们也可以使用 RT 公式来计算其空间中的纠缠熵，结果正好等于黑洞的熵。这表明复杂度与纠缠熵之间的联系比我们想象的更为紧密。
我们知道，在 Hilbert 空间中，大多数态都是纠缠态。因此，纠缠熵随时间演化会趋于饱和，因为大量态具有相近的纠缠程度。若仅以纠缠熵作为指标，这些态是无法区分的。但从复杂度的角度来看，这些态可能是不同的。这意味着当纠缠熵达到饱和后，复杂度仍可能继续增长，最终才会趋于稳定。原因在于存在大量具有相同复杂度的态。
从这个角度看，具有相同复杂度的态数量远多于具有相同纠缠熵的态。这说明大多数态本质上都非常复杂。
Susskind 等人提出了一个玩具模型：可以将态空间想象成一个 AdS 空间，其中到中心测地线的距离代表复杂度。由于 AdS 空间向外挤压，大部分体积集中在边缘，也就是复杂度较高的区域。从态的数量角度来看，似乎是复杂度“涌现”了空间，而纠缠熵则“涌现”了空间的几何结构。
AdS/CFT 还有一个简化的量子电路版本：MERA。在这个模型中，CFT 的所有特征都被舍弃，只保留了量子态的基本属性。即便如此，至少从纠缠的角度来看，MERA 能很好地与 AdS 几何匹配。
Tadashi 提出一个问题：强耦合与共形对称性在 AdS/CFT 中究竟扮演了什么角色？至少在 RT 公式中，它们的作用又是什么？也许正如 Susskind 所设想的复杂度模型一样，MERA 只是恰好模拟了态空间中某些纠缠行为。
在这两种情形下，AdS 空间都是作为态空间的一种表象存在的，因此一个潜在的暗示是：物理空间来源于态空间。
至于时间的涌现就更加“奇幻”了，这是基于 Tadashi 引入的 pseudo-entropy 概念。类似的想法是，要引入时间就必须引入变化。因此，我们不能只看单个态的性质，而是要考虑态与态之间的关系。
Pseudo-entropy 最朴素的理解就是描述态之间关联程度的一种指标。这样我们就可以在原本的态空间中增加一个维度，用以刻画这种关联的大小。相当于将多个 MERA 电路堆叠起来，而堆叠的方式必须契合 pseudo-entropy 所衡量出的结构，从而时间得以涌现。
Tadashi 也是个概念大师，他将 time-like entropy、traversable wormhole 以及 dS 时空中的 non-Hermitian 性质都纳入了 pseudo-entropy 的框架之中。
