高等代数理论基础64：正交变换

2019-04-14 本文已影响2人溺于恐

正交变换

定义：对欧式空间V的线性变换 $\mathscr{A}$ ,若它保持向量的内积不变,即 $\forall \alpha,\beta\in V$ ,有 $(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)=(\alpha,\beta)$ ,则称 $\mathscr{A}$ 为正交变换

定理：设 $\mathscr{A}$ 是n维欧式空间V的一个线性变换,则以下四个命题等价

1. $\mathscr{A}$ 是正交变换

2. $\mathscr{A}$ 保持向量的长度不变,即对 $\alpha\in V,|\mathscr{A}\alpha|=|\alpha|$

3.若 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是标准正交基,则 $\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n$ 也是标准正交基

4. $\mathscr{A}$ 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵

证明：

$1\Leftrightarrow 2$

$若\mathscr{A}是正交变换$

$则(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\alpha)=(\alpha,\alpha)$

$两边开方可得$

$|\mathscr{A}\alpha|=|\alpha|$

$反之,若\mathscr{A}保持向量的长度不变,则(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\alpha)=(\alpha,\alpha)$

$(\mathscr{A}\beta,\mathscr{A}\beta)=(\beta,\beta)$

$(\mathscr{A}(\alpha+\beta),\mathscr{A}(\alpha+\beta))=(\alpha+\beta,\alpha+\beta)$

$\therefore (\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\alpha)+2(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)+(\mathscr{A}\beta,\mathscr{A}\beta)$

$=(\alpha,\alpha)+2(\alpha,\beta)+(\beta,\beta)$

$\therefore \mathscr{A}是正交变换$

$1\Leftrightarrow 3$

$设\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n是一组标准正交基$

$即(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\begin{cases}1\qquad i=j\\0\qquad i\neq j\end{cases}(i,j=1,2,\cdots,n)$

$若\mathscr{A}是正交变换$

$则(\mathscr{A}\varepsilon_i,\mathscr{A}\varepsilon_j)=\begin{cases}1\qquad i=j\\0\qquad i\neq j\end{cases}(i,j=1,2,\cdots,n)$

$即\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n是标准正交基$

$反之,若\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n是标准正交基$

$则由\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

$\beta=y_1\varepsilon_1+y_2\varepsilon_2+\cdots+y_n\varepsilon_n$

$\mathscr{A}\alpha=x_1\mathscr{A}\varepsilon_1+x_2\mathscr{A}\varepsilon_2+\cdots+x_n\mathscr{A}\varepsilon_n$

$\mathscr{A}\beta=y_1\mathscr{A}\varepsilon_1+y_2\mathscr{A}\varepsilon_2+\cdots+y_n\mathscr{A}\varepsilon_n$

$\therefore(\alpha,\beta)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$

$=(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)$

$\therefore \mathscr{A}是正交变换$

$3\Leftrightarrow 4$

$设\mathscr{A}在标准正交基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n下的矩阵为A$

$即(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A$

$若\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n是标准正交基$

$则A可看作由标准正交基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n到\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n的过渡矩阵$

$\therefore A为正交矩阵$

$反之,若A是正交矩阵,则\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n即标准正交基$

$\therefore 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3\Leftrightarrow 4\qquad\mathcal{Q.E.D}$

因正交矩阵可逆,故正交变换可逆

正交变换实际上是一个欧式空间到它自身的同构映射,故正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换

在标准正交基下,正交变换与正交矩阵对应,故正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵

若A是正交矩阵,则由 $AA'=E$ ,可知 $|A|^2=1$ ,或 $|A|=\pm 1$

故正交变换的行列式为 $\pm 1$

行列式等于+1的正交变换称为旋转,或称为第一类的

行列式等于-1的正交变换称为第二类的

例：欧式空间中任取一组标准正交基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,定义线性变换 $\mathscr{A}$

$\mathscr{A}\varepsilon_1=-\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_i=\varepsilon_i,i=2,\cdots,n$

则 $\mathscr{A}$ 即第二类正交变换,在几何上这是一个镜面反射

高等代数理论基础64：正交变换

正交变换

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