2020 时序分析(9)

2020-06-16 本文已影响0人 zidea

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时间序列平稳性与非平稳性

在计量经济学中，主要研究范畴就是平稳时间序列。而在现实经济金融活动中，很大部分时间序列都是非平稳时间序列。

白噪声过程

白噪声过程也是随机过程，有关白噪声的定义我们说满足以下性质的随机过程就是白噪声

$E(\epsilon_t) = 0$
$Var(\epsilon_t) = \sigma_{\epsilon}^2$
$E(\epsilon_t,\epsilon_{t-1}) = 0$

从这些特性来看，白噪声属于弱平稳，具有 0 均值，但是因为自协方差为 0 而不再是时间间隔的函数，说明白噪声过程的显著特点是高度的随机性，也称纯随机性。

我们说弱平稳需要方差函数为常数，但是在金融行业中，时间序列的波动聚集性。也就是不同时期方差不同，所以这样时间序列方差就不再是常数，而是随时间波动。这是在建模时候就会选择 ARCH 模型。

对于纯随机性的时间序列是没有研究价值。所以拿到一个时间序列先看一看这个时间序列是否为平稳的，如果是平稳，接下来工作就是就是找其内部的规律，在进行随机性检验，如果是纯随机的也就是没有必要花费更多时间浪费在纯随机序列上，因为这个时间序列没有研究价值。

好我们回到线性差分方程，我们重点说一下差分方程两种表达方式，其中我们先说一下什么是滞后算子。
假设已知时间序列 $\{y_t\}$ 和 $\{z_t\}$ 有如下关系
$z_t = y_{t-1}$
其实就是我们不用 $y_{t-1}$ 来表示 $t-1$ 是的y 而表达成为 $y_t = Ly_{t-1}$ 就是我们在程序中看到 lag 也有用 B 表示的，以此类推
$\begin{aligned} y_{t-1} = L y_t\\ y_{t-2} = LL y_t \end{aligned}$
所以用滞后算子表达出多项式
$A(L) = \alpha_0 + \alpha_1L +\alpha_1L^2 + \dots + \alpha_p L^p$

$A(L)y_t = (\alpha_0 + \alpha_1L +\alpha_1L^2 + \dots + \alpha_p L^p) y_t$

差分算子

阶差分

一阶差分
时间序列分析过程中，经常会用差分运算，对时间序列 $\{y_t\}$ ,差分运算可以表示为
$\Delta y_t = y_t - y_{t-1} = (1 - L)y_t$
其中， $\Delta$ 差分算子，
高阶差分
$\Delta^2 y_t = \Delta \Delta y_t$
$\begin{aligned} = (y_t - y_{t-1}) - (y_{t-1} - y_{t-2})\\ = y_t - 2y_{t-1} + y_{t-2} \\ =(1- 2L + L^2)y_t \end{aligned}$
在阶差分我们计算都是针对相邻的两个点的计算，而步差分

步差分

s 步差分
差分运算还可以运用更多间隔的时间点之间，考虑
$\Delta_s y_t = y_t - y_{t-s} = (1 - L^s) y_t$
这里 $\Delta_s$ 称为 s 步差分。
s 步差分的典型用处是测算季度或月度时间序列数据的同步变化，因此也称季节性差分。

求解p阶线性差分方程的特征根法

典型的 p 阶线性差分方程为
$y_t = c + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2 y_{t-2} + \alpha_p y_{t-p} + \epsilon_t$

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