2D笛卡尔坐标系原则

1、每个2D迪卡尔坐标系都有一个特殊的点，称作原点(0,0);

2、笛卡尔坐标轴是无限延伸的

3、无论笛卡尔坐标如果朝向，X轴朝右为正，朝左为负;Y轴朝上为正， 朝下为负

3D笛卡尔坐标系

3D笛卡尔坐标系

左手坐标系 与 右手坐标系

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摄像机坐标系

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在3D图形学中,常用的坐标系: * 世界坐标系

• 物体坐标系

• 摄像机坐标系

• 惯性坐标系

世界坐标、惯性坐标、物体坐标

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练习: 1.下面情节,使用什么坐标比较合适?(物体\惯性\摄像机\世界坐标系)

• 计算机在我的前面还后面? —物体

• 书在我的西边\北北边 —世界坐标系,惯性坐标系

• 怎样从一个房间移动到另外有一个房间 .世界坐标系(寻路型质疑一般都是世界坐标系)

• 你能看见我的计算机吗? 摄像坐标系

向量的记法

列向量

通常使用下标法来引⽤向量的某个分量

⽐如，a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3

横向量

在课程中，针对的是2D\3D\4D向量，所以不用下标法

2D向量:x y

3D向量:x y z

4D向量:x y z w

向量: 速度和位移

标量:速率和长度

几何意义:

向量变负,就会得到一个和原向量⼤小相等,⽅向相反的向量

向量大小计算公式

2D、3D向量大⼩的计算公式

练习

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几何意义: 对于2D中任意向量V,能构成一个以V为斜边的直角三⻆形

标量与向量的乘法

应用到3D 向量

几何意义：
通过向量与标量相乘,可以获得一个新的向量.与原向量平行,长度不同或方向相反

注意:
标量 与向量不能做相加!
标量 与向量的乘法 满足交换律

标量与向量的除法

练习:标量与向量的乘除法

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注意:
标量 与 向量相乘时,不需要写乘号.将2个量挨着写即可表示相乘.(常将标量量写做左边)
负向量能被认为是乘法的特殊情况,乘标量-1
标量不能除以向量,并且向量不能除以另外一个向量

几何意义:
向量乘以标量K的效果以因⼦子[k]缩放向量的⻓度.

标准化向量
只关⼼向量的方向,不关⼼其⼤小 —单位向量

练习 标准化2D向量 [ 12,-5 ]

零向量是不能被标准的，数学上是不允许的，因为将导致除0.⼏何上也没有意义。因为零向量没有方向

向量加法

向量减法

练习

求 a+b , a-b , b+c-a

答案

思考
1、向量能不能与标量相加减?
2、向量能不能与维度不同的向量相加减?
3、向量加减法都适⽤用于标量加减法规则，比如交换律律?

注意:
1.向量不能 标量或维度不同的向量相加减
2.与标量加法一样,满足交换律,但是减法不满足交换律
永远只有 a + b = b + a 没有a - b = b-a;

几何意义:
向量a ,b相加几何解释,平移向量

距离公式

练习
a = [ 5 0 ] , b = [ -1 8 ] ,求ab向量之间的距离

答案

向量点乘 内积
注意:向量点乘中的点,不能省略

应⽤到2D、3D 中: a•b = b•a
向量与标量点乘,最终结果是向量
向量与向量点乘,最终结果是标量

练习

1、求 2D 向量量[ 4 6 ] • [ -3 7 ]的乘积
2、求3D 矩阵

答案

几何意义:
一般来说,点乘的结果描述2个向量的相似程度.点乘结果越大,2个向量越相近

点乘几何意义

a • b = ||a|| ||b|| cos(q)

3D中，两向量的夹⻆是在包含两向量的平面中定义的

用点乘计算2个向量之间的夹角q,如果a,b都是单位向量

q = arccos ( a • b )

根据向量v 和向量量 n 求向量V2?

根据向量V2 求向量V1?

向量的叉乘 叉积

练习

1、求3D 矩阵叉乘

答案

注意:
向量叉乘 则得到一个向量并且不满⾜足叫交换律,也不满足结合律
叉乘 必须把中间的*号写出来,不能省略

叉乘 与点乘一起时,叉乘优先计算. a . b * c = a .(b * c)

向量的叉乘几何意义

向量a,b在一个平面中。向量a * b 指向该平面的正上方，垂直于a 和b a * b的长度等于向量的大⼩小与向量夹角的sin值的积，如下:

|| a * b || = ||a|| ||b|| sin∂

课后作业

A 热身作业区

1.计算如下向量表达式:

2.计算如下向量之间的距离:

3.计算如下向量表达式:

4.计算向量[1,2]和[-6,3]的夹⻆角

课后作业

B 兴趣区

5.给定2个向量

， 请将V 分解为平行和垂直于n的分量。(n 为单位向量)

6.某⼈正在登机，航班规定乘客随身携带物品不能超过⼆尺长、二尺宽或二尺高。此人有物品，3尺长。 他能把这物品带上⻜飞机，为么?他能携带的物品最⻓为多长?

答案

A 热身作业区答案

1.计算如下向量表达式:

2.计算如下向量之间的距离:

3.计算如下向量表达式:

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4.计算向量[1,2]和[-6,3]的夹角

B 兴趣区

5.给定2个向量

请将V 分解为平行和垂直于n的分量。(n 为单位向量)

6.某人正在登机，航班规定乘客随身携带物品不能超过二尺长、二尺宽或二尺高。此人有物品，3尺长。

他能把这物品带上⻜飞机，为么?他能携带的物品最⻓为多长?

这个男⼈人可以登机，他将物品斜在一个立方体形状的盒⼦子，是2英尺长，2英尺高，和2ft宽。 他能携带的最长物品的⻓度是大约41.5英⼨

书：22-3D数学基础：图形与游戏开发