通过完全因子数构造素数，素数的规律找到了!
这篇文字表述了如何通过规律构造素数。这是素数研究的终极目标。证明很直接，我检查了无数遍认为没错。这篇文章只发到简书和我新注册的维信公众号（好香 greattasty）。我同时也会把一个英文的简版发到我的Git（https://github.com/zhaohonggang/BuildingPrimeNumbers）和几个英文的社交媒体上。也希望看到这篇文字的所有有缘人多多反馈，帮忙完善，指证错误。我会非常感谢的。
完全因子数的定义：如果一个数的因子是1和从2开始(如果这个数比2大)由小到大连续素数的乘积。不存在重复或遗漏。那么这个数是完全因子数。Complete factors number(除了头两个数外，这种数其实是最完备的合数，所以我下面也会称这种数为完全合数，更顺口些)
根据定义，完全因子数是如下序列：
1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030......
(也就是，1x1=1, 1x2=2,1x2x3=6, 1x2x3x5=30,1x2x3x5x7=210....)
可以看出完全合数是由质数构造出来的，下面来说明质数是用完全合数和较小的质数构造出来的。
先看例子，这些例子说明了质数都是从小到大怎么出来的。一切的起点从1开始。
完全合数1
质数2=1+1
完全合数2=1x2
3=2+1
5=2x2+1
完全合数6=2x3,数5不是6的因子且小于6，5 x 5在6和30之间
7=6+1
11=6+5
13=2x6+1
17=2x6+5
19=3x6+1
23=3x6+5
25=4x6+1=5x5 筛去
29=4x6+5
完全合数30=2x3x5，质数7到29不是30的因子且小于30
31=30+1
37=30+7
41=30+11
43=30+13
...
53=30+23
59=30+29
61=30x2+1
67=30x2+7
...
77=30x2+17=7x11 筛去
...
89=30x2+29
...
181=30x6+1
...
191=30x6+11
...
209=30x6+29=11x19是合数
完全合数210=2x3x5x7,数11，13...31..77（合数)..209（合数)与210互质并小于210
211=210+1
...
2101=210x10+1=191x11 合数
...
2309=210x10+209(质数)
对上面的例子总结一下，对一个完全合数n和前一个完全合数m之间的素数的构造方法是:假设n=m x q(q是m因子之后的下一个素数)。首先找到m之前与m互质的所有的数。假设a是这样的数(除了1，这些数必在q到m之间(下面会证明)，其实就是q到m之间的所有素数的乘积的一个子类，包括q的平方等，只要它小于m)。
用b=k x m + a的方法构造m和n之间的素数。b是构造的结果，k是从1到q-1的自然数(k如果等于q就到n了)，a是上面找到的数。m到n之间的素数一定在b的集合中(下面会证明)，但b的集合不完全都是素数。包含一些合数需要剔除掉。这些合数其实也在q到m间所有素数的乘积之中。只要这些乘积大于m小于n.构造前把这些合数提前找出来即可。
这个构造法并不是猜想或归纳总结出来的。实际上我的思维过程是先有关于完全合数的想法，认识到完全合数和素数的密切关系。再研究寻找相关规律，根据规律设定和证明相关定理。中间犯了几次错误，做了几次修正。把最终定理定下，
并证明之后。再根据定理找到了这种构造方法。至于为什么突然会想起研究完全合数?其实和易经有一定的关系。物极必反，完全合数可以说是最完备的合数，所以它就有可能最接近素数。
下面是关于这种构造法的两个定理，以及它们的证明笔记。我描述的可能不够完备和精确，但应该足以说明问题。对这些定理的证明我反复看了好多遍，做了很多验证，我相信是正确的，但仍然不应该完全排除有错的可能。在文章的结尾部分我会对我自己做一下简单的介绍并留下联系方式。如果你发现错误，请联系我让我知道。我会非常感谢。整个证明过程步骤少，并不复杂深奥。应该只用了一些基础的中学数学知识。在看完定理的描述之后您可以先不看证明，尝试自己先证明一下。我相信对它们的证明难度，不会高于中学数学题。如果您是数学老师的话，能否帮我看一下?并介绍给您的学生?我私下里有个小小的愿望。如果这个理论能够成功，我希望它能进中学课本。因为它很简单，特别适合中学阶段。
定义和假设: 假设m是完全因子数。m=1x.....xp。n是m之后的下一个完全因子数。根据完全因子数的定义，n=m x q = 1 x...x p x q.
用[q..m]表示q和m之间所有素数的乘积集合。这个集合包含q. 这是个无限集合，因为它包含所有这样的乘积。假设a,b,c在这个集合中，那么a x a x a..., bxb...., axaxb, axbxcxc等都在这个集合中。
定理一(完备性定理，说明m,n之间的所有素数都可以这样构造出来)：
如果 b 是素数，m < b < n
b 一定能表示成 b = k x m + a
k是自然数，1<=k < q
a 属于 1或[q..m]，a < m
定理二(精确性定理，说明用这种方法可以精确的构造出m， n之间的所有素数，不会有多余和遗漏。)
所有b, m<b<n ，b = k x m + a
k是自然数，1<=k < q
a 属于 1或[q..m]，a < m
如果b 不是素数，如果c是b的质因子，那么q<=c<m(这个的等价描述是b属于[q..m])
对定理一的证明：如果a 不属于 1或[q..m]，因为a<m. 那么 a 可能是质数，这个质数是m的因子。或者是合数，这个合数包含m的因子，因为m的因子包含q之前的所有素数，而a的因子不可能比m大。这就可以推出b是合数。与b是素数矛盾。
对定理二的证明:因为a属于 1或[q..m],而m的因子包含q之前的所有素数。所以k x m和 a互质，k<q 所以k不可能和a共享因子。如果b=k x m + a是合数。如果c是b的质因子,假设b=c x d，如果c < q，那么c 是m的因子。那么k x m / c 是整数把它叫e. 那么 b = k x m + a 等价于 c x d = c x e + a, a = c x (d - e) 这与a属于 1或[q..m]矛盾。所以c > q, 那么b一定属于[q..m]
可以看出这些证明都很简单直接，基本上都是根据定义推出来的。我反复看了很多遍，自信不会有错。
关于素数有很多猜想，比如哥德巴赫猜想，孪生素数猜想等。相信这个规律的发现对解决这些猜想有很大帮助。以后我可以继续研究这方面。也希望可以帮数学家们做贡献。这里针对孪生素数猜想说一下看法。其实根据这个构造法，孪生素数都是从前面的孪生素数构造出来的。而且一对孪生素数可以构造出很多对后面的孪生素数。所以孪生素数的趋势是越来越多。
最后对自己做一下简单介绍: 我从小喜欢数理化，参加过很多理科竞赛。最后因为化学竞赛的成绩保送到清华计算机系。毕业后，在深圳工作几年，现在加拿大多伦多，我昵称是Grant。自信是一个相当不错的架构师，精通.net, python, sql, BI, Dataware house和web. 很喜欢python,发现了这个素数构造法后，本想写个python程序验证一下。但等不及了。以后可能会补上。如果你是程序员，如果感兴趣，欢迎你帮忙写一个验证的程序。请让我知道，我的email是honggangz@gmail.com.
为了这个文章的发表，我准备启动一个以前申请的微信公众号(好香 greattasty)，因为我的简书帐号叫好香帅。如果你感兴趣订阅这个号的话，我会把这个号经营下去来交流。我的兴趣不只是数学，这个素数的问题从开始想到证明实际上用了几天时间，以后我的新文章会详细说明这个过程是怎么发展的。自我感觉文笔还可以，对佛法，哲学，宗教，人生三观，易经八卦，性格测试，围棋，各种理论，各种科学都感兴趣。也有很多对各种问题自认为比较独特的看法。我曾经是一个创业公司的技术总监，对创业和商业也做过很多研究和实践，也很感兴趣，希望和大家互相交流。根据MBTI性格测试，我属于intp的性格。这点很自豪， 因为据说牛顿，爱因斯坦都是这种性格。欢迎大家联系我，真诚希望和大家做朋友。
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