2022-08-19认识正态分布—这个世界上最简单和最基础的分布

有人天真的人认为我们的世界在很多领域经常发生极端事件，在一些领域中也许存在这样特别极端的例子，但是，其实很大一部分领域，极端现象都非常少，就像世界上没有身高15米的人一样，因为我们的世界大部分事物服从正态分布。

1. 正态分布的三个数学特性

“正态分布”这个词，听上去挺复杂，但它的英文叫normal distribution，直接翻译过来就是“正常的分布”“一般的分布”，意思是其它分布都是特殊的，只有正态分布是一般的、正常的。咱们国家台湾的教科书通常叫它“常态分布”，从名字上，我们也能感受到它的重要性。

有趣的是，正态分布不仅非常重要，而且还特别简单。说起正态分布曲线，就是一条对称的倒钟形曲线，中间很高，两边下降，像个鼓起的小山。图片就长这样：

在正态分布的曲线图里，横坐标代表随机变量的取值范围，越往右，随机变量的值就越大。纵坐标，则代表概率的大小，最底下的概率是0，越往上概率越大。因为这条曲线是左右对称的，所以中间的最高点，就代表平均值出现的概率最大，数据最多，而两边陡峭下降，就意味着越靠近平均值，数据越多，越远离平均值，数据就越少。正态分布能给人充分的掌控感，每个案例相差都不会很大，通常翻不了天。

平均值和标准差就都可以用平时的流量数据统计出来。有了平均值和标准差你就可以大致估算各种事件发生的概率：95%的事情都发生在两个标准差之内，99.7% 的事情发生在三个标准差之内。有个极客说要找个美貌程度在两个标准差之外的女朋友，那就意味着她要比 97.5%的人都漂亮。就像这个图：

从上面的例子我们可以知道正态分布的三个特性：

一是均值就是期望。也就是正态分布曲线中间最高点的横坐标，不仅代表随机变量的平均值，而且还等于它的数学期望，平均值也就代表随机事件的价值。

二是极端值很少。这有两层含义：一是极端值出现的概率很低，二是极端值对均值的影响很小。也因此，正态分布是稳定的系统。

性质三：标准差决定胖瘦。前面讲过，标准差就是方差的平方根，也能用来描述随机变量的波动情况。在正态分布中，标准差越大，数据的波动越剧烈，钟形曲线就越矮胖，标准差越小，数据越集中，钟形曲线就越高瘦。

2.决定正太分布的是中心极限定理

并不是所有随机事件都满足正态分布，想要学会判断什么样的事件满足正态分布，需要了解“中心极限定理”。中心极限定理说，如果一个事件满足下面这些条件，它的分布就是正态分布。

[if !supportLists]①　[endif]它是由多个（至少20 个）随机变量相加的结果；

[if !supportLists]②　[endif]这众多的随机变量是互相“独立”的，且每个随机变量的方差都只有有限大；

[if !supportLists]③　[endif]起到决定性作用的因素也是多个。

中心极限定理的表达方式有好几种，但核心的数学性质只有一条——大量独立的随机变量相加，无论各个随机变量的分布是怎样的，它们相加的结果必定会趋向于正态分布。换句话说，正态分布是必然产生的。而这个证明源于严格的数学推导，是一定正确的。

3.正态分布是所有分布的参照系和世界的宿命

正态分布就像一个标准、一个参照系，服从正态分布，可以直接用它分析，不服从正态分布，也可以为人类指明继续探索的方向。如果一个这个随机事件不服从正态分布，那它就一定不满足正态分布背后的中心极限定理。而不满足中心极限定理，我们就能知道，要么是它的影响因素不够多，要么是各种影响因素不相互独立，要么是某种影响因素的影响力太大等，就给我们继续探索指出了思路。

中心极限定理告诉我们，正态分布普遍存在。比如，影响人身高的因素很多，营养、遗传、环境、族裔、性别等都有影响，这些因素的综合效果就使人的身高服从正态分布。

所有的分布，不是正态分布，就是在变成正态分布的路上。信息论领域发现了“熵最大原理”，就是说，在一个孤立系统中，熵总是在不断增大。正态分布就是所有已知均值和方差的分布中，信息熵最大的一种分布。

如果熵不断增长是孤立系统确定的演化方向，那熵的最大化，所以就是孤立系统演化的必然结果。最终任何分布叠加最终都会形成正态分布，所以无论是对数分布还是幂律分布，无论是指数分布还是其他任何分布，只要自身不断演化，不断自己叠加自己，最终也一样会变成正态分布，好像冥冥中自有定数。

参考资料：

 得到app《刘嘉·概率论22讲》《万维钢·精英日课3》。

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