2020-06-05 Seminar (Hexagon appr

之前的几周的讨论班都没有讲具体的东西，一次是讲了自己关于Costello Yamazaki 4D gauge theory的一些工作进展，还有一次是讲了一下determinant operator还有g-function 的简单介绍（motivation 还有一些introduction）。看过之后觉得，要想了解g-function这个工作，还是要先从hexagon approach 入手，选择review了Komatsu 16年pedagogical的讲义。除去technical 的部分，这个讲义的一个重要的内容是提供了一个他们解决问题的步骤或是逻辑。

一个比较有帮助的物理图像是这样的：我们要把想要计算的N=4 SYM里面的物理量转化为一个可积理论（如spin chain或其他统计模型 ）里面的物理量（一般是某种partition function。）比如2 point function就可以想象成一个cylinder partition function。我们希望可以通过微扰计算得到一个类似的图像。这样我们就可以有一个物理的interpretation，为可积计算的可能成为可能。所以问题的关键不是开发新的可积性的方法，而是如何把想要计算的量转化为可以用可积性计算的量。

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N=4 SYM 和 BPS operators

这部分还是帮大家回忆一下，同时强调了一下BPS operator 的概念, 比如怎样用一个null vector 来表示一个1/2 BPS operator。熟悉R-symmetry 作为internal space的viewpoint。

微扰计算

因为2 and 3 point function 的形式 都是由conformal Ward identity 来确定的，我们只需要一些弄清楚一些coefficients。
以2 point function 起手，让大家熟悉一下double line notation，这样可以帮助我们figure out 一些排列组合coefficients。
考虑3 point function时，首要的问题是，我们要选哪3个operator，这里的选取是其中两个是BPS的，另外一不是。但是对于不是BPS 的operator，比如在 Z的sea里面插入一个Y。但是问题是Y要插在哪里，可以有很多种选择。这里的选择依据基于量子力学的微扰论，这个operator应该是1-loop dilation operator 的本征态 ，可以由coordinate bethe ansatz得到，这时候我们已经有了一个spin chain 的图像。接下来就是简单做Wick contraction了，因为不同位置Y具有同样的时空坐标，他们的Wich contraction的贡献是一样的，结果我们只需要对coordinate bethe ansatz里面的系数求和就好了。这个求和当然可以有一个具体的表达形式，但是我们想找到一个好的形式，可以有一个物理图像的解释。通过计算插入一个Y（称为magnon）还有两个Y的情况的计算我们总结出一些规律，就是这个求和可以看成是一个partition function的形式，对应的被求和的microstate 或者configuration是 插入的m个Y是怎样在spin chain 的两端分布的，这里有一些简单的规则去求不同configuration前面的系数（其实每一个 configuration 前面的系数都应了一种求和顺序，可以通过选取合适的求和顺序直接得到，不过最后的结果可以由一个很简单规则给出。）。我们只需要知道不同 configuration的贡献就可以了。这样至少在tree level 的时候，3 point function 的计算确实被转换成了一个计算统计模型partition的问题。每一个configuration有两个部分分别来自spin chain 的两端。2 point function 的topology 是一个cylinder，3 point function 的topology 是一个 pants。我们把这个pants 竖着剖开就得到前后两个hexagons。我们可以想象刚才提到的spin chain 的每一个端点都应了一个hexagon （分布了相应的magnons）。

这样可以假设我们有一个Hexagon的统计模型，他的partition function 给出了N=SYM 理论的3 point function。

Hexagon approach

我们现在假设 Hexagon 的图像在 finite coupling的时候还是成立的，只不过需要重新计算每一个Hexagon的贡献。下面就是经典的可积性的方法了，利用对称性还有一些额外的可积性条件来bootstrap 出结果，这与可以bootstrap 出 finite coupling时的S-matrix的方法如出一辙。
首先是用对称性。方法如下：1，选取一个 “rest frame” （这个也很tricky，2 point function 的rest frame 很好选择，但是3 point function时候是什么样的还是比较难想象的。）；2，找到 little group；3 用 little group 的表示来描述 internal motion (excitation)，就是弄清楚 little group generator 是怎样作用在excitation 上面的. 这里用到的一个很关键的方法是取一个asymptotic limit，就是假设 spin chain 是无穷长的。这样做的好处是，1可以用S-matrix的语言；2. little group 变大了！ 一部分的gauge symmetry 在无穷远不会die out，所以变成了large gauge transformation，是global symmetry 的一部分。特别重要的是这些 large gauge transformation 是依赖 coupling的！并且因为前身是gauge symmetry，他与 little group 対易。这样把他们看做little group 的central extension。要求Hexagon 在这个central extended little group 是不变的就可以把Hexagon 限制住 up to some scalar factors，他们可以接下来被可积性条件限制。

问题是什么样可积性条件？我们回到 3 point function 的topology 是一个 pants 这个描述。如果我们认为 cylinder的两个底分别代表了past 和future，那么一个pants 有3个底就对应了2个pasts 1个future！
具有多个pasts 和 futures 的 partition function在什么地方出现过？ Replica trick！
所以我们可以认为这个pants 是描述了一个插入replica 为3/2的 twist operators 的partition function，这样我们的Hexagon 就可以理解为twist operator 对应的form factor。对于可积场论有 axioms of form factors: 他要满足Watson equation 还有decoupling relations。利用最后这两个限制，我们最终可以确定 scalar factors 通过解一些functional equation（和求S-matrix的 CDD factor 的情况类似）。

Conclusion

又一次可积性的经典演练，可以与之前bootstrap S-matrix 的过程 相互照应，对可积性方法加深理解。
最后twist operator的图像很有意思：比如能不能考虑从一个可积理论出发，通过replica 构造新的可积理论？比如我们的这个例子完全可以认为Hexagon定义了一个统计理论的partition function。