九.零点问题与微分不等式

1.零点定理

函数在闭区间定义域内单调且两端函数值异号，则函数值等于0在开区间定义域内至少有一个根

2.单调性

函数在开区间定义域内单调，函数在开区间定义域内至多有一个根

3.罗尔定理推论

若n阶导数等于0至多有k个根，则函数等于0至多有k+n个根

4.实系数奇次方程至少有一个实根

5.用函数性态证明不等式

（1）导数大于0，函数值大于等于左端点的值小于等于右端点的值。

（2）二阶导数大于0，函数的导数值大于等于左端点的导数值小于等于右端点的导数值。
左端点导数大于0时，函数导数大于0，函数单调增加
右端点导数小于0时，函数导数小于0，函数单调递减

（3）连续且有唯一的极值点，极值点为极大值时时最大值，相反时极小值时是最小值

（4）二阶导数大于0，有左右两点函数值等于0，通过凹凸性可知中间函数值小于0

6.常数变量化证明不等式

7.用中值定理证明不等式
主要用拉格朗日中值定理或者泰勒公式。