高中奥数 2022-04-02

2022-04-02 本文已影响0人不为竞赛学奥数

构造辅助命题

如果一个命题直接证比较困难,可以试着考虑建立辅助命题来帮助证题.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P079 例15）

给定两组数 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 和 $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}$ ,现知 $x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{n}>0,$
$y_{1}>y_{2}>\cdots >y_{n}>0,$
$x_{1}>y_{1},$
$x_{1}+x_{2}>y_{1}-y_{2},$
$x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}>y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}.$
求证:对于任何自然数 $k$ ,都有
$x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}>y_{1}^{k}+y_{2}^{0}+\cdots +y_{n}^{k}.$
分析我们猜想是否有如下的递推关系:
$x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}>x_{1}^{k-1}y_{1}+x_{2}^{k-1}y_{2}+\cdots +x_{n}^{k-1}y_{n},$
$x_{1}^{k-1}y_{1}+x_{2}^{k-1}y_{2}+\cdots +x_{n}^{k-1}y_{n}>x_{1}^{k-2}y_{1}^{2}+x_{2}^{k-2}y_2^{2}+\cdots +x_{n}^{k-2}y_{n}^{2},$
$x_{1}y_{1}^{k-1}+x_{2}y_{2}^{k-1}+\cdots +x_{n}y_{n}^{k-1}>y_{1}^{k}+y_{2}^{k}+\cdots +y_{n}^{k}.$
从而联想到构造辅助命题:
若 $a_{1}>a_{2}>\cdots >a_{n}>0$ ,且满足题设的条件,那么:
$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots +a_{n}y_{n}.\qquad(*)$
证明

因为 $a_{1}>a_{2}>L>a_{n}>0$ ,故存在正数 $b_{1},b_{2},\cdots b_{n-1},b_{n}$ 使得:
$a_{n}= b_{1},$
$a_{n-1}=b_{1}+b_{2},$
$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$
$a_{2}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n-1},$
$a_{1}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}.$
于是
$\begin{aligned} &a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\\ =&\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)x_{1}+\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n-1}\right)x_{2}+\cdots +b_{1}x_{n}\\ =&b_{1}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)+b_{2}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}\right)+\cdots +b_{n}x_{1}\\ >&b_{1}\left(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}\right)+b_{2}\left(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n-1}\right)+\cdots +b_{n}y_{1}\\ =&\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)y_{1}+\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n-1}\right)y_{2}+\cdots +b_{1}y_{n}\\ =&a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots +a_{n}y_{n}, \end{aligned}$
故 $(*)$ 式成立再依次取 $a_{i}=x_{i}^{k-1},x^{k-2}y_{i},\cdots ,y_{i}^{k-1}\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ,利用不等式的传递性,自大到小逐渐缩小,即得所要证的不等式.

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