高中数学纲目

幂函数与零点问题：2018年文数全国卷B题21

2021-08-20 本文已影响0人易水樵

零点问题：2018年文科数学全国卷B题21

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x^{3}-a\left(x^{2}+x+1\right)$ .

（1）若 $a=3$ ，求 $f(x)$ 的单调区间;

（2）证明： $f(x)$ 只有一个零点.

【解答问题1】

$f'(x)=x^2-a(2x+1)=x^2-2ax-a$

若 $a=3$ ，则 $f'(x)=x^2-6x-3$

令 $f'(x)=0$ , 解得： $x_1=3-2\sqrt{3},\;x_2=3+2\sqrt{3}$

当 $x \in (-\infty, 3-2\sqrt{3}), f'(x) \gt 0$ ，函数单调递增；

当 $x \in (3-2\sqrt{3}, 3+2\sqrt{3}), f'(x) \lt 0$ ，函数单调递减；

当 $x \in (3+2\sqrt{3}, +\infty), f'(x) \gt 0$ ，函数单调递增；

【解答问题2】

$f'(x)=x^2-2ax-a$

$(- \dfrac{1}{3})x \cdot f'(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{3}ax^2+\dfrac{1}{3}ax$

$\dfrac{1}{3}af'(x)=\dfrac{1}{3}ax^2-\dfrac{2}{3}a^2x-\dfrac{1}{3}a^2$

设 $x_1,x_2$ 为导函数 $f'(x)$ 的零点，且 $x_1 \lt x_2$ , 则 $f(x_1),f(x_2)$ 为函数的极小值，极大值。

$x_1,x_2$ 是方程 $x^2-2ax-a=0$ 的根，所以 $x_1+x_2=2a;\;x_1x_2=-a;$

$f(x_1)-\dfrac {1}{3}x_1f'(x_1)+\dfrac{1}{3}af'(x_1)=f(x_1)+0+0$

$f(x_1)=-\dfrac {a}{3}[2(a+1)x_1+(a+3)]$

$f(x_2)=-\dfrac {a}{3}[2(a+1)x_2+(a+3)]$

$f(x_1) \cdot f(x_2)$
$=\dfrac{a^2}{9} [2(a+1)x_1+(a+3)] [2(a+1)x_2+(a+3)]$

$=\dfrac{a^2}{9}(9a^2+14a+9) \gt 0$

由此可知： $f(x_1), f(x_2)$ 同为正或同为负；

所以， $(x_1,x_2)$ 区间内没有零点；

在 $(-\infty,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty)$ 区间内，函数单调递增；

如果 $f(x_1),f(x_2)$ 同为负，则在 $(-\infty,x_1)$ 内没有零点；在 $(x_2,+\infty)$ 区间内有一个零点；

如果 $f(x_1),f(x_2)$ 同为正，则在 $(-\infty,x_1)$ 内有一个零点；在 $(x_2,+\infty)$ 区间内没有零点；

综上所述，函数 $f(x)$ 只有一个零点. 证明完毕.

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