母函数与特征函数

2018-11-29 本文已影响0人 Moe丶Yui

一、母函数

设随机变量X取非负整数值，对应的分布列为P(X=k)=pk,k=0,1,2...；则称 $P(s)=\sum_{k=0}^{+\infty}p_{k}s^k = E(s^k)$ 为X的母函数。

易知， $|s|\leq1$ 时，上述级数一致收敛且绝对收敛。

① 唯一性：母函数与分布函数相互决定。

② 数字特征：利用母函数可以求得数字特征。

$EX=\sum_{k=0}^{\infty}kp_k=P^{\prime}(1);$

$DX=P^{\prime\prime}(1)+P^{\prime}(1)-[P^{\prime}(1)]^2$

设随机变量X的分布函数为 $F_X(x)$ ,则称

$f_x(t)=Ee^{itx} = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}dF_X(x)$ 为X的特征函数。

① $f(0)=1，|f(t)|\leq f(0) ，f(-t)=\bar{f(t)}$

② 特征函数在定义域上一直连续

③ 特征函数非负

④ 随机变量之和的特征函数，为各自特征函数之积（避免卷积）

⑤ 设随机变量X的n阶矩存在，则特征函数可以微分n次，且

$f^{(k)}(0)=i^kE(X^k)$

⑥ 唯一性，特征函数与分布函数一一对应