2024-04-12排列组合与概率易错题

2024-04-11 本文已影响0人天下第二狙

在四个女生和三个男生的候选人中选择两个人参加比赛，在选中一个女生的条件下，另外一名选手也是女生的概率。

很容易想到的就是已经选了一个女生，那么在剩下的三个男生和三个女生一共六个人中选择一个，一共6种可能，那么选中的是女生有3种可能，结果是 $1/2$

可是这样就会出现一个问题，就是重复计算。

回到排列组合的问题来，七个人当中选择两个，应当是 $C_{7}^{2}$ =28

如果是其中有一个女生的话，应当是分为两种情况 $C_{4}^{1}*C_{3}^{1}$ （选择一名女生和一名男生）或者是 $C_{4}^{2}$ （选择两名女生）这样的话一共有18个组合。

而如果按照前面解决概率问题的方法来看，先选一名女生的话，应当是 $C_{4}^{1}$ ，第二次再选一名女生 $C_{3}^{1}$ ，一共是12个可能组合，而总共的组合数是 $C_{4}^{1}*C_{6}^{1}$ =24.

这里可以给女生编号，女生甲，乙，丙，丁. 能够发现先选甲再选乙实际上和先选乙再选甲是一样的，这样就会出现一个组合被计算两次的情况。这样两个都是女生的组合总数应当是 $C_{4}^{2}$ .

去掉重复计算之后，这道题就很简单了，可以用条件概率，也可以直接用古典概型列举。最后结果是

$\frac{C_{4}^{1}}{C_{4}^{2}+C_{4}^{1}*C_{3}^{1}} =\frac{1}{3}$