概率统计基础

2019-04-20  本文已影响0人  nano1892

第一讲 随机事件与概率

基本概念

  1. 随机试验
    三个条件：
    1. 可重复
    2. 可能结果明确可知且多个
    3. 不能事先确定结果
  2. 随机事件
    随机事件、必然事件、不可能事件
  3. 样本空间
    基本事件（样本点），记为\omega。基本事件全体称为基本事件空间（样本空间），记为\Omega，即\Omega={\omega}，A \subset \Omega。
  4. 事件的关系与运算
    1. 包含：A \subset B
    2. 相等：A = B
    3. 交（积）：A \cap B或AB
    4. 相容：AB \neq \oslash，互斥：AB = \oslash
    5. 并（和）：A \cup B
    6. 差：A - B，逆事件（对立事件）：\overline{A}
    7. 有限个事件构成一个完备事件组：
      事件的关系和运算法则：
      1. 吸收律：若A \subset B，则A \cup B = B，A \cap B = A
      2. 交换律：A \cup B = B \cup A，A \cap B = B \cap A
      3. 结合律：(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)，(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
      4. 分配律：A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)，A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)，A \cap (B - C) = (A \cap B) - (A \cap C)
      5. 对偶律（德摩根律）：\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}，\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

用古典概型求概率

  1. 定义
    事件A的古典概率：P(A) = \frac{k}{n} = \frac{事件A的基本事件个数}{基本事件总数}
  2. 方法与例题
    计数方法：
  3. 穷举法
  4. 集合对应法：
    1. 加法原理：完成一件事有n类方法
    2. 乘法原理：完成一件事有n个步骤
    3. 排列：有顺序，P^m_n = \frac{n!}{(n-m)!}
    4. 组合：无顺序，C^m_n = \frac{P^m_n}{m!}
  5. 对立事件思想：若A复杂，研究\overline{A}

用几何概型求概率

  1. 引例与定义
    等可能思想。
    几何概型定义：
    1. 样本空间是一个可度量的几何区域
    2. 每个样本点发生的可能性都一样
    事件A的几何概率：P(A) = \frac{S_A的几何度量}{\Omega的几何度量}
  2. 方法
    事件所含样本数和总样本数对应区域大小之比

用重要公式求概率

  1. 重要公式
    1. 逆事件概率公式：P(\overline{A}) = 1- P(A)
    2. 加法公式：P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)
      3个事件：P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) +P(A_3) -P(A_1A_2) -P(A_1A_3) -P(A_2A_3) + P(A_1A_2A_3)
    3. 减法公式：P(A - B) = P(A) - P(AB) = P(A\overline{B})
    4. 条件概率公式：已知A发生，B发生的概率为条件概率，记为P(B|A)，定义为P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}。
      推论：P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)，P(B - C|A) = P(B|A) - P(BC|A)
    5. 乘法公式：如果P(A) > 0，则P(AB) = P(A)P(B|A)
      推论：如果P(A_1 \cdots A_(n-1)) > 0，则P(A_1A_2 \cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2) \cdots P(A_n|A1 \cdots A_{n-1})
    6. 全概率公式：P(B) = \sum^n_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)
    7. 贝叶斯公式（逆概公式）：P(A_j|B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum^n_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)}
    8. 事件的独立性：如果P(AB) = P(A)P(B)，则A、B互相独立。
      当n=3时，注意相互独立和两两独立的区别。

第二讲 一维随机变量及其分布

基本概念

  1. 随机变量的概念
  2. 分布函数的概念及性质
    1. 概念：设X是随机变量，x是任意实数，称函数F(x) = P\{X \leqslant x\}(x \in R)为随机变量X的分布函数，或称X服从分布F(x)，记为X \sim F(x)
    2. 性质（也是充要条件）
      1. 单调不减
      2. 右连续函数
      3. F(- \infty) = 0，F(+ \infty) = 1
        注：已知0 \leqslant F(x) \leqslant 1，即F(x)是有界函数

常见的两类随机变量 -- 离散型随机变量和连续型随机变量

  1. 离散型随机变量及其概率分布
    分布律：p_i = P\{X=x_i\},i=1,2, \cdots，记为X \sim p。
    概率分布的表格形式：
X x_1 x_2 \cdots
P p_1 p_2 \cdots

矩阵形式：
X \sim \left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 & \cdots \\ p_1 & p_2 & \cdots \end{array}\right)
数列\{p_i\}是离散随机变量的概率分布的充要条件是：p_i \geqslant 0(i=1,2,\cdots)，且\sum_i{p_i} = 1。
特别有P\{a < X \leqslant b\} = P\{X \leqslant b\} - P\{X \leqslant a \} = F(b) - F(a)

  1. 连续型随机变量及其概率密度
    随机变量X的分布函数：
    F(x) = \int^x_{-\infty}f(t)d_t(x \in R)
    其中f(x)是非负可积函数，是X的概率密度函数，记为X \sim (x)
    f(x)为某一随机变量X的概率密度函数的充分必要条件是：f(x) \geqslant 0，且\int^{+\infty}_{_\infty}f(x)d_x = 1（由此可知，改变f(x)的有限个点的值后，f(x)的值仍然是概率密度）
    特别有P\{a < X < b\} = \cdots = P\{a \leqslant X \leqslant b\} = \int^b_af(x)d_x = F(b) - F(a)

常见的随机变量分布类型

  1. 离散型
    1. 0-1分布：B(1,p)
    2. 二项分布：B(n,p)
    3. 泊松分布：P\{X=k\} = \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-k}(k>=0;\lambda >0)，记为X \sim P(\lambda)
    4. 几何分布：P\{X=k\} = q^{k-1}p(k>=1;q=1-p)，记为X \sim G(p)
    5. 超几何分布
  2. 连续型
    1. 均匀分布U(a,b)
      f(x) = \left\{\begin{array}{rcl} \frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & 其他, \end{array}\right.
      或
      F(x) = \left\{\begin{array}{rcl} 0, & x<a, \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b, \\ 0, & x \geqslant b, \end{array}\right.
    2. 指数分布E(\lambda)
      f(x) = \left\{\begin{array}{rcl} \lambda e^{- \lambda x}, & x>0, \\ 0, & 其他, \end{array}\right.
      或
      F(x) = \left\{\begin{array}{rcl} 1-e^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x<0, \end{array}\right. \lambda>0
    3. 正态分布N(\mu,\sigma^2)
      f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}
      称\mu=0,\sigma=1时的正态分布N(0,1)为标准正态分布，概率密度为\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} e^{-\frac{1}{2} x^2}}，分布函数为\Phi(x)，显然\varphi(x)为偶函数，\Phi(0) = \frac{1}{2}，\Phi(-x) = 1- \Phi(x)
      如果X \sim N(\mu,\sigma^2)，4个公式

随机变量函数的分布

  1. 概念及分布
    1. 概念：设X为随机变量，则Y=g(x)也是随机变量，称为随机变量X的函数
    2. 随机变量函数的分布：
      1. 离散型：分别求g(x_i)，合并相同项
        X \sim \left( \begin{array}{cc} g(x_1) & g(x_2) & \cdots \\ p_1 & p_2 & \cdots \end{array}\right)
      2. 连续型：
        1. 定义法（分布函数法）：直接由定义求Y的分布函数
          F_{Y(y)} = P\{Y \leqslant y\} = P\{g(X) \leqslant y\} = \int_{g(x) \leqslant y}f(x)dx
          求导：Y的概率密度f_{Y(y)} = F'_{Y(y)}

第三讲 多维随机变量及其分布

基本概念

  1. 二维r.\upsilon.(X,Y)
  2. 联合分布函数
  3. 边缘分布函数
  4. 独立性
  5. 离散型(X,Y) \sim P_{ij}联合分布律
  6. 连续型r.\upsilon.(X,Y) \sim f(x,y)联合概率密度

第四讲 数字特征

基本概念

  1. 数学期望
    1. X \sim p_i \Rightarrow EX = \sum_i{x_ip_i}
    2. X \sim f(x) \Rightarrow EX = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx
  2. 方差
    DX \triangleq E(X - EX)^2
    1. 定义法
    2. 公式法
      DX = EX^2 - (EX)^2
  3. 协方差Cov(X,Y)
    Cov(X,Y) = E(X-EX)(Y-EY) = E(XY) - EX \cdot EY
  4. 相关系数
    \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}，描述X，Y之间线性相关程度

第五讲 数理统计初步

基本概念

  1. 总体与样本
  2. 估计方法
    1. 矩估计
    2. 最大似然估计
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