杂题-1

2020-10-25 本文已影响0人道悅

已知a、b、c的取值范围均为闭区间[-2,2],且a+b+c=0,求 $a^2 +b^2 +c^2$ 的最大值。

解：要取最大值，且三数之和为0，显然取最大值时，三数中必有一数为正，一数为负。由于三数对称，故不妨设a为正数，c为负数，即

2 $\geq$ a>0,-2 $\leq$ c<0。

$a^2 +b^2 +c^2=a^2 +(-a-c)^2 +c^2 =2(a^2+ ac+ c^2 )$ .

设函数f(a)= $2(a^2+ ac+ c^2 )$ 。

令函数g(c)= $2(c^2 +2c+4)$

当c=-2时，g(-2)为最大值8，此时a=2，b=0，c=-2。故所求最大值为8.

此题在高中也可用立体几何来解，a+b+c=0为平面，最大值就是中心在原点的球面的最大直径，区间范围可表示为中心在原点，与三维坐标垂直的边长为4的正方体。