向量空间

2019-10-14 本文已影响0人暴走TA

定义:向量空间是一个集合 $V$ ，该集合的元素都是向量，定义了加法和标量乘法。

定义 : 对于含有 $n$ 个向量的集合 $\{ e_1,e_2,…,e_n\}$ ,如果不存在不全为0的数 $a_1,a_2,…,a_n$ ,使下式成立，则向量集合线性无关。

$a_1 e_1+a_2e_2+…+a_ne_n=0$

定义:向量空间 $V$ 的基 $\beta$ 是 $n$ 个线性无关向量的集合， $\beta =\{e_1,e_2,…,e_n\}$ ,对于向量空间中的任意向量P,存在一组实数 $a_1,a_2,…a_n$ ,使下式成立。
$P=a_1e_1+a_2e_2+…+a_ne_n$

正交积
在向量空间的基 $\beta$ 中，如果任意两个向量 $e_i和e_j，i\not=j ,{e_i} \cdot e_j=0,$ 则基 $\beta$ 称为向量空间的正交基。
线性无关
给定任意两个向量 $e_1和e_2$ ,如果 $e_1 \cdot e_2=0$ ,则 $e_1和e_2$ 两个向量线性无关。
对于向量空间的正交基，如果其中每个向量的长度均为1，则称之为规范正交基。克罗内克符号函数表示如下:
$\delta_{ij}=\begin{cases} & 1 , 如果i=j \\ & 0 , 如果 i\not= j \end{cases}$
规范正交积
在向量空间的基 $\beta=\{e_1,e_2,…e_n\}$ 中，如果任意两个向量 $e_i和e_j,e_i \cdot e_j=\delta_{ij}$ ,则基 $\beta$ 称为向量空间的规范正交基。