数学对象是否存在？（2）

文/叶峰

我们再看看在现代数学中数学家们对无穷数学对象的态度。在数学中数学家们非常肯定地断言有无穷多个自然数存在，有不可数无穷多的实数存在，有更多的无穷基数存在等等。

数学家们从未怀疑过，是只有有限多个自然数或实数，还是有无穷多个自然数或实数。他们对无穷的态度是非常确定的。对比一下物理学对于宇宙中超出一个有限范围的事物的不确定性，我们应该可以看出，如果这些数学对象真正存在，它们应该是与宇宙中的物理对象在本质上不同的对象，是在本质上独立于物质世界的东西。

比如，有的人可能会说，一个数本身不是一个独立存在着的对象，它只是某一类物理量的表示，比如，数2代表了物理量“2米”、“2千克”等等。但是，假如真实的宇宙中没有任何事物具备那些非常大的物理量，这是否等于说那些非常大的数就不存在了？对于数学家来说这是荒谬的。

所以，数不能总与宇宙中实际存在着的物理量相联系。而且，一个自然数或实数还有可能表示某个物理量，但是那些抽象的函数空间、拓扑空间、无穷基数、乃至大基数等等，可能在有限的物质世界中没有任何直接与之对应的物体或属性，在物质世界中没有任何“例子”或“影子”。

因此，如果那些抽象数学对象自身也客观地存在，它们应该是独立于这个物质世界的，它们也不是宇宙中的物质对象或其属性的某种简单的抽象、概括、代表等等。它们应该是一种完全不同类型的存在物，即抽象的存在物。

这里需要强调一下，我们并没有假设物质世界就是有限的。重要的是，物质世界是否无穷还是未知的，而且时空的离散性是有可能的；而另一方面，数学中的无穷的实在性似乎是非常地确定的、毋庸置疑的。这才是真正的差异。它意味着，数学家们所非常肯定地断言存在着的事物，如果果真客观存在的话，一定是在本质上独立于这个物质世界的东西。

所以，接受那种朴素的数学实在论意味着，相信数学理论是在描述一个独立于物质世界且独立于我们的思想的数学世界，其中居住着与我们的物质世界中的事物完全不同类的抽象事物，尤其是无穷的抽象事物。

它们在两个意义上是无穷的：（1）有无穷多个（甚至不可数个或大基数个）这样的抽象的个体事物；（2）单个抽象数学对象本身也可以蕴涵着实无穷。

认识到了这一点，我们就可以进一步认识到这种朴素的数学实在论信念带来的一个很大的难题。我们凭什么相信有这样一个独立于物质世界、又独立于我们思想的数学世界？这样的论断是否太不可思议了？用哲学的语言说，我们究竟是如何认识到那个独立的世界的？我们关于那个独立的世界的知识是如何可能的？我们的数学知识又为什么会那么可靠？甚至被认为是最可靠的知识？

更具体地说，假设我们承认我们是生活于宇宙时空之中的生物，我们的认知活动也局限于宇宙时空之中，我们如何能够认识到那些不存在于时空之中的所谓抽象对象？而且，我们的经验活动的范围总是有限的，我们如何可能那么确定地认识无穷的对象？尤其是对比一下，在物理学中我们尚且不能那么确定地认识离我们非常遥远但还是有限的事物，这使得我们究竟如何可能获得关于数学中的无穷的知识，显得非常令人难解。

注意，这不是否认我们有数学知识。它是一种归谬论证：假设我们有数学知识，又假设朴素的数学实在论对“我们的数学知识是关于什么的知识”这一点的解释是正确的，也就是说，我们的数学知识是关于一个既独立于物质世界、又独立于我们思想的无穷的数学世界中的事物的知识；然后这个论证指出，这实际上使得我们究竟怎么可能会有数学知识变成一个不可解的谜。

反过来，假设我们没有理由相信我们有可能认识这样一个既独立于物质世界、又独立于我们思想的、无穷的抽象数学世界，那么它说明，朴素的数学实在论对我们的数学知识的解说是错误的，即我们的数学知识并不是关于一个既独立于物质世界、又独立于我们的思想的抽象数学世界的知识。

这是朴素的数学实在论所面临的主要难题，一般称作数学实在论的认识论难题。朴素的数学实在论未能回答这个问题。

这些困难也许会使得一些人否认数学对象真正存在。比如，他们可能认为，数学家所做的仅仅是从数学公理推导出定理，而公理仅仅是一些任意的假设，不必是关于任何独立于物质世界且独立于我们的思想的所谓抽象对象的客观真理。他们甚至可能怀疑数学“对象”这种说法是否有意义。

这是一种典型的、朴素的数学反实在论。这种观点有时也被称作形式主义。

有这样一个流行的说法：数学家们在工作日都是实在论者，但在周末都变成了形式主义者。因为，当他们在工作时，他们都坚信他们是在探索一个客观的数学世界，证明关于那个世界中的事物的客观真理，为我们的科学知识大厦提供最可靠的知识基础。但在周末休闲时，他们读了点哲学，想起这种信念中蕴涵的种种问题，于是他们后退一步说：“哦，我们只是从公理推导定理罢了，我们并不是说那些数、无穷集合、超穷基数、函数空间等真的存在，我们也不是说公理就是真理。公理只是一些任意的假设而已。”

但是，这样的朴素的数学反实在论同样会带来其他的问题。假设一个理论是从一些假设推导出一个结论，那么，当我们将这个理论应用于实际事物的时候，我们应该仔细地确认那些假设条件是被满足了，由此所推导出的结论才能是真理。所以，假如我们从数学公理A推导出一个数学定理B，然后将数学定理B应用在物理学中再推导出一个物理结论C。

为了使得最终得出的物理结论C是科学真理，整个推导的前提之一数学公理A本身必须是真的，而不能仅仅是任意的假设。但是，假如抽象数学对象不存在，那么那些数学公理是关于什么对象的真理？如果物理世界是有限、离散的，那么那些涉及无穷的数学公理就不可能被解释为关于任何物理对象的真理，而只能是关于抽象数学对象的真理。

所以，为了说明从数学公理推导出的科学结论是真理，我们似乎必须承认数学公理本身是真理，而不能说公理仅仅是任意的假设，因此我们又似乎必须承认无穷的抽象数学对象存在。

换句话说，如果数学仅仅是数学家们在玩的从公理推导定理的游戏，那么我们可以不必承认数学对象真正存在，也不必承认数学公理是关于数学对象的真理，因为这意味着，数学活动就像下棋一样，是从一些任意设定的规则开始进行游戏。但是，既然数学公理在科学应用中能够推导出真正的科学真理，我们似乎不得不承认，数学公理不仅仅是任意的假设，而是关于某些东西的真理，至少在科学应用中必须是关于某些东西的真理，然后，从公理推导出的结论才能是科学真理。而这些东西似乎只能是所谓的抽象数学对象（因为它们必须是无穷的，而科学从来没有确认有无穷的物质对象）。

这是朴素的数学反实在论所面临的数学可应用性难题，即假如数学对象不存在，数学定理不是关于数学对象的真理，那么数学为何可以在科学应用中得出真理。朴素的反实在论还未回答这个问题。

因此，朴素的数学实在论与朴素的反实在论都还有未解决的难题。二十世纪的各种数学哲学流派都试图修正、改进朴素的实在论或朴素的反实在论，提出一些更精巧的实在论或反实在论理论，以解决这里的难题。

在各种数学哲学流派试图回答的关于数学的哲学问题之中，本体论问题是最核心的。围绕对本体论问题的不同回答，我们可以将二十世纪的种种数学哲学观点分类。对两个本体论问题都持肯定回答的哲学理论，即断言抽象数学对象存在而且独立于我们的思想的理论，属于数学实在论，又称数学柏拉图主义。它们的典型代表有弗雷格的逻辑主义实在论、哥德尔的柏拉图主义或概念实在论、蒯因的实用主义实在论，等等。

而对这两个本体论问题都持否定回答的哲学理论，属于数学反实在论，又称作数学唯名论。它们的典型代表包括希尔伯特的形式主义，以及最近几十年由哲学家们提出的一些理论，如虚构主义等。也有哲学家承认数学对象在某种意义上存在，但不说它们是独立于我们的思想而存在的，因此他们的观点与柏拉图主义和唯名论都有所区别。

比如，有的认为数学对象是我们思想的创造物，因此不是独立于我们思想而存在的。这种观点的典型代表有布劳威尔的直觉主义。又比如，有的人认为数学对象是依我们的语言的约定而存在的，如卡尔纳普的逻辑实证主义。这种观点也是既承认数学对象存在，但又回避承认数学对象的独立于我们思想（及语言）的客观实在性。这里我们将这一类观点也归入反实在论，但有时称之为“弱反实在论”，而用“唯名论”指完全否定数学对象存在的观点。

——叶峰《二十世纪数学哲学》