斜抛运动的数学模型

本章涉及知识点

1、案例引出

2、运动过程分析

3、解法一：构造关于时间t的二次函数

4、解法二：构造关于水平位移x的二次函数

5、解法三：分析矢量速度三角形面积

6、解法四：包络线方程

7、带入数据测试4种不同解法的正确性

8、心得总结

一、案例引出

在高度为h，以初速度v0和任意角度斜抛出一个物体，求解：该物体可以运动到的最远水平距离x和运动时间t？以及使物体运动到最远采取的斜抛角度θ的策略？（忽略空气阻力）

二、运动过程分析

斜抛运动

分析物体运动的水平和竖直方向，由于物体在水平方向不受外力作用，而在竖直方向只受重力作用，即

水平和竖直加速度

则我们可以写出物体在任意时刻t的水平和竖直位移，即

水平和竖直位移

上述方程组包含未知量为：角度θ、时间t、水平位移x和竖直位移y，下面我们就需要推导这组方程组

三、解法一：构造关于时间t的二次函数

这个解法是容易可以想到的，我们来首先计算出时间t，则需要消去角度θ

我们将方程组进行分离变量t和θ，并带入y=-h，即得到

分离变量t和θ

由于要消元θ，将方程组两边平方得到

方程组两边平方

相加两个方程，得到

化简

可以看到消元θ后，我们得到关于x和t的一个方程，分离变量得到

分离变量x和t

上述方程包含x和t，我们构造x^2关于t^2的二次函数f(t^2)，即

x^2关于t^2的二次函数

我们要求出x的最大值，即求f(t^2)的最大值，则f(t^2)的对称轴为

f(t^2)的对称轴

f(t^2)的最大值在对称轴上取得，即

f(t^2)的最大值

此时我们利用二次函数求出了t和x，即

解法一求出最远距离x和运动时间t

下面我们来推导使得x到达最远的角度θ策略，我们回到初始方程组

初始方程组

相除两个方程，并带入求出的x和t，可化简得到

计算tanθ

则我们得到使得x取得最大值的角度θ为

角度θ

四、解法二：构造关于水平位移x的二次函数

解法二和解法一思路是一样的，同样是利用下面方程组来推导

位移方程组

不同的是，我们选择消去时间t来计算角度θ，则由第一个方程得

t的表达式

带入第二个方程消去t，并带入y=-h，得到

消元t

上述方程包含tanθ和x两个变量，我们将方程视为关于x的二次方程，即

关于x的二次函数

此时特别注意：比较解法一，我们无法利用二次函数的对称轴来求解x的最值，因为这个二次函数的系数不是单变量θ，而是非线性函数tanθ！

故我们先求出根的判别式

根的判别式

可以看到，该二次函数f(x)一定有两个实数解，利用求根公式，得到f(x)的解为

二次函数f(x)的解

我们令

构造h(x)

则我们要求x的最大值，即转化求h(x)的最大值，而h(x)不是初等函数，故需要对h(x)求一阶导数

但是推导到这里，我们发现h(x)的表达式包含分式、非线性函数和开根号等复合函数，导致其导数将非常难求，故我们无法利用数学来推导h(x)的极值

为此，我们只能采取数值计算的方法，通过编程来插值计算h(x)

数值计算方法

五、解法三：分析矢量速度三角形面积

上述解法都是从位移方程组出发来消元的，我们重新换一种思路，因为整个运动过程只有重力做功，我们设运动结束的速度为v，列出动能方程，即

动能方程

至此，我们发现落地速度v是一个常量，分析运动结束的速度矢量三角形，有如下三个分量

速度矢量三角

可以看到落地速度v（在运动的切线方向）和初速度v0都是常量，只有竖直方向的速度vy是一个变量

竖直方向的速度

我们引入新的变量φ表示：v和v0之间的夹角

则我们用v、v0和φ列出该三角形的面积为

速度矢量三角形面积

我们在找出该三角形面积的另一个表达式，用vy和vy边上的高即可

速度矢量三角形面积

至此，三角形面积是相等的，我们将两个面积表达式写在一起，即

三角形面积相等

我们根据面积的不同表达式得到上述方程，发现含有φ、θ和t三个变量，我们需要消元

由水平位移方程

水平位移方程

可以看到整个x的表达式出现在上述方程的右侧，带入得到

消元得到x的表达式

至此，我们得到x的关系表达式，且x的大小和正比于变量sin(φ)，而sin(φ)最大值为1，即当

分析求出x的最大值

至此我们求出当φ为90度的时候，x取得的最大值，则由几何知识可以得到v和vy的夹角也为θ

φ为90度的速度矢量三角形

从上图几何关系中，我们可以直接求出θ，即

几何关系直接求θ

即可以求出使得x取得最大值的夹角θ为

角度θ

我们求出了x和θ，直接带入水平位移方程，即可求出t，即

时间t

可以看到解法三求出的关于x、t和θ的数学表达式和解法一是一样的

六、解法四：包络线方程

我们考虑更一般的情景，还是从水平位移和竖直位移的方程组出发

水平位移和竖直位移

和解法二类似，我们联立上述方程组消去时间t，得到

消元t

特别注意，此时我们并没有带入y=-h这个条件，而是将y也当做变量（准确来说是某个函数表达式）

至此，回顾解法二，我们是将上述方程视为关于x的二次方程，但是发现解不出来其一阶导数，故解法二采用数值计算来分析，所以我们需要从数学的角度，重新换一个角度来审视上述方程

所以我们定义

关于θ的隐函数

我们构造的函数f(x, θ)有如下数学意义和物理意义：

（1）f(x, θ)的数学意义为：以x和θ为自变量，且包含关于θ隐函数

（2）f(x, θ)的几何物理意义为：表示物体以任意角度做抛物线运动的轨迹方程

由于θ和任意一个抛物线运动都是一一对应的，即θ是抛物线运动轨迹的特征参数，θ是单值的，则在数学上可以翻译为：轨迹函数f(x, θ)对θ的偏导数为0

θ是单值的

我们带入f(x, θ)求出θ的偏导数，即

f(x, θ)对θ的偏导数为0

至此我们得到θ和x的关系式，我们将tanθ带入f(x, θ)，化简得到

得到包络线方程

可以看到，我们推导出了y的函数表达式，且y是以x为单自变量的开口向下的二次函数，数学上我们将y称为：包络线方程

包络线的几何意义为：

（1）包络线是一条光滑连续的曲线

（2）包络线保证同一类运动的轨迹方程（抛物线族）有且和包络线曲线相切有一个交点

（3）同一类抛物线族都在包络线的范围之内

至此，我们令包络线y=-h，即可解出x的最大值，即

求解x

将x的表达式带入tanθ，即

求解tanθ

即可求出θ

求解θ

求出x和θ后，带入水平位移方程，即可求出t

求解t

可以看到解法四求出的关于x、t和θ的数学表达式和解法一、解法三是一样的

七、带入数据测试4种不同解法的正确性

我们以投掷实心球的场景，假设出手初速度v0=10m/s，身高h=1.7m，重力加速度g=9.78m/s^2

通过python编程实现上述四种解法，得到的结果如下

四种解法的计算结果

可以看到无论哪种算法，计算的结果都是一样的，只是思考方向和角度不同

最后，我们在上述场景里可视化画出解法四的包络线方程和抛物线族

包络线方程和抛物线族

可以看到，物体无论以什么角度做斜抛运动，其抛物线运动轨迹（红色）均在包络线方程范围内

8、心得总结

（1）解法一最直接，却要注意消元的选择，保证推导的函数没有包含复合函数，计算量中等

（2）解法二由于带有复合函数，导致求导异常困难，适用数值计算方法，计算量太大

（3）解法三需要一定的技巧和观察能力，计算量最小，高效却不灵活

（4）解法四需要用另一个角度去审视轨迹方程，模型最通用，计算量中等

案例代码见：斜抛运动的数学模型