高考理数解析几何大题：北京卷2011年~2022年

2022-11-29 本文已影响0人易水樵

2011年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $G:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ . 过点 $(m,0)$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $A,B$ 两点.

（I）求椭圆 $G$ 的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将 $|AB|$ 表示为 $m$ 的函数，并求 $|AB|$ 的最大值.

2012年理数北京卷题19

分值：14分

已知曲线 $C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8(m \in \mathbf{R})$ .

（Ⅰ）若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，求 $m$ 的取值范围；
（Ⅱ）设 $m=4$ ，曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A,B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $y=kx+4$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $M,N$ ，直线 $y=1$ 与直线 $BM$ 交于点 $G$ .

求证： $A,G,N$ 三点共线.

2013年理数北京卷题19

分值：14分

已知 $A,B,C$ 是椭圆 $W:\dfrac{x^2}{4} + y^2 =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 上的三个点， $O$ 是坐标原点.

（I）当点 $B$ 是 $W$ 的右顶点，且四边形 $OABC$ 为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，判断四边形 $OABC$ 是否可能为菱形，并说明理由.

2014年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $C∶x^2 + 2y^2=4$ .

（I）求椭圆 $C$ 的离心率；
（Ⅱ）设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y=2$ 上，且 $OA \perp OB$ ，试判断直线 $AB$ 与圆 $x^2 + y^2=2$ 的位置关系，并证明你的结论.

2015年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 和 $A(m,n)(m \ne 0)$ 都在椭圆 $C$ 上. 直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$ .

（I）求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m,n$ 表示）;

（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$ .问∶ $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $\angle OQM= \angle ONQ$ ？若存在，求点 $Q$ 坐标;若不存在，说明理由.

2016年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $A(a,0),B(0,b),O(0,0)$ , $\triangle OAB$ 的面积为 $1$ .

（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ .

求证： $|AN| \cdot |BM|$ 为定值.

2017年北京卷题18

分值：14分

已知抛物线 $C:y^2=2px$ 过点 $P(1,1)$ . 过点 $(0,\dfrac{1}{2})$ 作直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $M,N$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线分别与直线 $OP,ON$ 交于点 $A,B$ ，其中 $O$ 为原点.

（I）求抛物线 $C$ 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证： $A$ 为线段 $BM$ 的中点.

2018年理数北京卷题19

分值：14分

已知抛物线 $C:y^2=2px$ 经过点 $P(1,2)$ . 过点 $Q(0,1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A,B$ , 且直线 $PA$ 交 $y$ 轴于 $M$ ，直线 $PB$ 交 $y$ 轴于 $N$ .

（I）求直线 $l$ 的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设 $O$ 为原点， $\overrightarrow{QM} =\lambda \overrightarrow{QO},\; \overrightarrow{QN} = \mu \overrightarrow{QO}$ ，求证 $\dfrac{1}{\lambda} + \dfrac{1}{\mu}$ 为定值.

2019年理数北京卷题18

分值：14分

已知抛物线 $C:x^2=-2py$ 经过点 $(2,-1)$ .
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程:
（Ⅱ）设 $O$ 为原点, 过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M,N$ . 直线 $y=-1$ 分别交直线 $OM,ON$ 于点 $A$ 和点 $B$ .
求证：以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点.

2020年理数北京卷题20

分值：15分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 过点 $A(-2,-1)$ , 且 $a=2b$ .

（I）求圆 $C$ 的方程
（Ⅱ）过点 $B(-4,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M,N$ , 直线 $MA,NA$ 分别交直线 $x =-4$ 于点 $P,Q$ . 求 $\dfrac{|PB|}{|BQ|}$ 的值.

2021年理数北京卷题20

分值：15分

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 过点 $A(0,-2)$ , 其四个顶点的连线围成的四边形面积为 $4\sqrt{5}$ .
（I）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（Ⅱ）过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B,C$ , 直线 $AB,AC$ 分别交直线 $y=-3$ 于点 $M,N$ , 若 $|PM| + |PN| \leqslant 15$ , 求 $k$ 的取值范围.