2.4 薛定谔方程的势函数 Potential function

https://www.youtube.com/watch?v=FQugbwN9F-E&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=16

前言

量子力学的主要内容就是求解薛定谔方程，事实上，对于每一个 不同的体系，都有不同的薛定谔方程，即不同的势能函数，本科讲薛定谔方程中的势能部分

1. SE中的势能部分

1.1 TISE 时间不相关薛定谔方程

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对薛定谔方程进行简单的变化：

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• 如果V(x) > E的话，那么波函数对x的二次求导就是>0

• 如果V(x)<E的话，那么波函数对x的二次求导就是<0

1.2 常用的势能距离

• 一维深势阱“Particle in a box"(Hard)

• 在(-a,a)的区间内势能=0，在区间之外势能无限大

• 谐振子势能 “Harmonic oscillator”

• 粒子会像一个弹簧一样在中心位置左右移动

• δ函数势能

• 在x=0出势能为负无限，x=\0处，势能为0

• 一维浅势阱 “Particle in a box" (soft)

• 在(-a,a)的区间内势能=0，在区间之外势能等于常数。

• 无势能

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2. 波函数与势能

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2.1 上述TISE波函数对x的二次倒数，其实就是曲率！

• 根据V(x)和E，以及波函数的正负，就可以画出波函数的曲率

• 如果V(x) > E, 且波函数位于第一象限，即波函数>0（波函数是一个复数，正负好像没有什么意义，这里sloppy了一下，就认为波函数纵坐标为正负标准），此时波函数开口向上

• 如果V(x)>E，且波函数<0（第四象限），那么波函数开口向下

• 总体来看波函数是远离x轴的

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• 同理，如果V(x<E) 如下图所示，总体来看波函数是朝向x轴的

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• 根据上述推导，我们可以根据下面的势能图来简单画一个定性的波函数

• 注意：如果波函数的二次倒数是不连续的，那么一次倒数就是连续的，0次倒数是平滑的

• 在区间内，选择一个中间点作为起始点，两边分别朝向x轴

• 在区间外，因为波函数连续平滑，所以斜率绝对值会变小，然后慢慢朝向原理x轴的方向，下图画了三种可能的波函数图样

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• 测试，选出可能的波函数图像（显然选c）

• 注意曲率

• 注意边界条件

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