数学建模：人口模型

2022-04-08 本文已影响0人 Cache_wood

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Malthus指数增长模型

假设人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增
长量与当时的人口呈正比。
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt} = rx\\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\\ x(t) = x_0e^{rt}$

人口倍增时间： $T = \frac{\ln2}{r}$

参数估计

线性化后，利用线性最小二乘法
$x(t) = x_0e^{rt}\\ \ln x(t) = rt+\ln x_0\\ y = rt+a$
先做数值微分，再计算增长率，将平均增长率作为增长率r的估计值，边界值 $x_0$ 直接采用原始值。
$x'(t_0) = \frac{-3x_0+4x_1-x_2}{2\Delta t}\\ x'(t_k) = \frac{x_{k+1}-x_{k-1}}{2\Delta t}\\ x'(t_n) = \frac{3x_n-4x_{n-1}-x_{n-2}}{2\Delta t}$

改进的指数增长模型

假设人口增长率r是线性可变的。
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt} = rx\\ r = r_0 - r_1t\\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\\ x(t) = x_0e^{}$

logistic模型

自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，随着人口的增加，阻滞作用越明显。资源和环境所能容纳的最大人口数量是 $x_m$ 。当达到这一最大值时，人口不再增长。因此，假设人口增长率 r是 t 时刻人口x的减函数： $r(x) = r_0(1-\frac{x}{x_m})$
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt} = rx(1-\frac{x}{x_m})\\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\\ x(t) = \frac{x_m}{1+\frac{x_m-x_0}{x_0}e^{-rt}}$

logistic模型的参数估计

将logistic模型变形，对人口数据做数值微分后计算增长率，再利用线性最小二乘法估计。
$\left\{\begin{array}{rcl}\frac{\frac{dx}{dt}}{x} = r(1-\frac{x}{x_m})\\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\\$
直接利用原始数据和非线性最小二乘法估计。

两个模型比较

模型	优点	缺点
Malthus模型	短期预报比较准确	不适合中长期预报。预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环境对人口增长的制约作用。
Logistic模型	中期预报比较准确	理论上很好，实用性不强。预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 $x_m$ 为定值。实际上这两个参数（特别是 $x_m$ ）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。