截面的极惯性矩Ip与抗扭惯性矩It

2019-01-06 本文已影响0人户佳页

极惯性矩 $I_{p}$ 是用来衡量截面抗扭性能的参数，其计算公式为：

$I_{p} =\int_{A}^{} \rho ^2dA=I_{x} +I_{y}$

对于圆形截面和圆环截面，可直接由 $I_{p}$ 来计算抗扭截面系数 $W_{t}$

$W_{t} =\frac{I_{p} }{R}$ （R-外圆半径）

而抗扭截面系数可用来计算扭转时的最大切应力 $\tau _{max}$

$\tau _{max} =\frac{T}{W_{t} }$ （T-扭矩）

在计算圆轴扭转变形，即扭转角φ时，也要用到 $I_{p}$

$\varphi =\frac{Tl}{GI_{p} }$ （ $l$ -圆轴长度，G-材料的切变模量）

但是对于非圆截面扭转， $I_{p}$ 与φ, $\tau _{max}$ 的关系便没有这么直接。

对于矩形截面

$\tau _{max} =\frac{T}{\alpha ba^2 }$ （α-与高宽比b/a有关的系数）

扭转角φ

$\varphi =\frac{Tl}{G\beta ba^3 }$ （β-也是与高宽比b/a有关的系数）

这里为了与上面圆轴扭转角公式对应，令

$\varphi =\frac{Tl}{G\beta ba^3 } =\frac{Tl}{GI_{t} }$ （ $GI_{t}$ -称为杆件的抗扭刚度）

于是便有了矩形截面的抗扭惯性矩 $I_{t}$ 的概念

$I_{t} =\beta ba^3$

对于高宽比 $\frac{b}{a} >10$ 的狭长矩形， $\alpha =\beta \approx \frac{1}{3}$ ，于是

$I_{t} =\frac{1}{3} ba^3=\frac{1}{3} ht^3$ （ $h$ -狭长矩形高度/宽度， $t$ -狭长矩形宽度/厚度）

型材截面扭转切应力流

对于工程上各种型材截面，其壁厚均远小于截面尺寸，称为薄壁杆件。若杆件的截面中线是一条不封闭的折线或曲线，则称为开口薄壁杆件。例如角钢、工字钢、槽钢、T字钢等。这种开口薄壁杆件，其截面可看作是若干个狭长矩形组合而成，因此其抗扭惯性矩 $I_{t}$

$I_{t} =\sum_{}\frac{1}{3} h_{i} t_{i} ^3$

实际的型材截面，其狭长矩形内侧连接处有圆角，板厚也不均匀，翼缘内侧通常有斜度，因此用系数η加以修正

$I_{t} =\eta \sum_{}\frac{1}{3} h_{i} t_{i}^3$

$\eta$ 取值：角钢 $\eta =1$ ，槽钢 $\eta =1.12$ ，T字钢 $\eta =1.15$ ，工字钢 $\eta =1.20$ 。

同时，对于开口薄壁杆件的扭转，扭转角φ

$\varphi =\frac{Tl}{GI_{t} }$

最大切应力 $\tau _{max}$ 发生在厚度最大的狭长矩形长边上

$\tau _{max} =\frac{Tt_{max} }{I_{t} }$

对于中线为曲线的开口薄壁杆件（上图第三个管件），计算时可将截面展平，作为狭长矩形处理。即将周长作为狭长矩形长边，厚度作为狭长矩形短边计算。

闭口薄壁杆件，如方管、矩形钢管等，则不能直接用上述公式计算 $I_{t}$ ，翻遍我的材料力学课本，没有这方面的定义，只介绍了这种截面的切应力和扭转角算法（即使壁厚不均匀一样成立）：

$\tau _{max} =\frac{T}{2\omega t_{min} }$ （ω-截面中线所围面积， $t_{min}$ -最小壁厚）

$\varphi =\frac{T l}{4G\omega ^2 } \oint_{}^{} \frac{ds}{t}$ （ $ds$ -截面中线上一段微分长度）

若杆件的壁厚 $t$ 不变，则

$\varphi =\frac{TlS}{4G\omega ^2t }$ （ $S=\oint_{}^{} ds$ ，是截面中线的长度）

GB/T 6728-结构用冷弯空心型钢中，列出了圆管、方管和矩形管的扭转惯量（即本文中所说扭转惯性矩）以及计算公式：

$I_{t} =\frac{t^3h}{3} +2KA_{h}$

$h=2[(B-t)+(H-t)]-2R_{c}(4-\pi )$

$R_{c}=\frac{R+r}{2}$

$A_{h} =(B-t)(H-t)-R_{c}^2(4-\pi )$

$K=\frac{2A_{h}t }{h}$

附

矩形截面杆件扭转时的系数

参考资料

《材料力学》刘鸿文主编高等教育出版社

《机械设计手册》成大先主编化学工业出版社

GB/T 6728-2017 结构用冷弯空心型钢

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