(概率论基础1)一维随机变量

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随机变量概念

随机变量与确定性变量的区别：

随机变量发生与否及其结果，随事件（试验结果）而定，人预先不可知。如彩票开奖等。
确定性变量：在发生之前即可知道结果。如在理想情况下（不考虑阻力风速等），一个人以 $v(m/s)$ 的速度前进， $t$ 秒后前进了多少米。

随机变量的分类：

离散型：掷骰子 ${1,2,3,4,5,6}$
连续型：电视机的寿命 $(0, \infty)$

离散型随机变量的分布

概率函数与分布函数定义

对于一个随机变量，人们更关注于取一个值的概率是多少，因此引入了概率函数。
定义：关于 $X$ 的概率函数，有
$\begin{align} p_i=P(X = a_i), i=1,2,... \tag{2.1} \end{align}$

某一事件概率的集合称为分布函数，定义：设 $X$ 为随机变量，则函数
$\begin{align} P(X \leq x) = F(x), -\infty<x<\infty \tag {2.2} \end{align}$
称为 $X$ 的分布函数。

分布函数的性质

$F(x)$ 是单调非降的，当 $(x_1 < x_2)$ 时，则有 $F(x_1) < F(x_2)$
当 $x \to \infty$ 时， $F(x)=1$ ，当 $x \to \infty$ 时，有 $F(x)=0$ 。

几种常见的分布

1、二项分布，记为 $X \sim F$

检查某厂产品次品率 $p$ 的大小，从中抽取若干件，检查次品数量 $X$ 的大小。
$\begin{align} p_i = b(i;n, p) = \binom{n}{i} (p)^{i}(1-p)^{n-i} \tag{3.1} \end{align}$

其中二项分布需要满足两个要求：
1.各次试验中的条件是稳定的，保证 $p$ 不会发生改变。
2.各个事件相互独立。

2、泊松分布，记为 $X \sim P(\lambda)$

$\begin{align} P(X=k)=\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda}}{k!} \tag{3.2} \end{align}$

泊松分布与二项分布之间的关系。
设所观察时间段为 $[0, 1)$ ，取一个很大的 $n$ ，则有 $l_1=[0,\frac{1}{n}), l_2=[\frac{1}{n}, \frac{2}{n}),..., l_n=[\frac{n-1}{n}, 1)$ 。假设：

在每段 $l_i$ 内，事件发生的概率与时间长度成正比,取 $p=\frac{\lambda}{n}$ 。那么，在 $n$ 很大的情况下，这么短时间内不可能同时发生两次事件。因此，在 $l_i$ 内不发生的概率为 $1-\frac{1}{n}$ 。
$l_1, l_2, ..., l_n$ 相互独立。
则有，在 $[0, 1)$ 内发生 $k$ 件事件的概率为：

$\begin{align} p_k \approx b(k;n, \frac{\lambda}{n}) = \binom{n}{k}(\frac{\lambda}{n})^{k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \tag{3.3} \end{align}$
当 $n \to \infty$ 时：

$\binom{n}{k}(\frac{1}{n})^{k} \to \frac{1}{k!}$

$(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \to e^{-\lambda}$

3、超几何分布

总共有 $N$ 件商品，里面有 $M$ 件次品，问取出得 $n$ 件商品中，含有 $m$ 件次品的概率。
$\begin{align} P(X=m) =\frac{\binom{M}{m} \binom{N-M}{n-m}}{\binom{N}{n}} \tag{3.4} \end{align}$

4、负二项分布

检查某厂产品次品率 $p$ 的大小，从中一件一件抽取，直到抽中 $r$ 件次品为止。 $X$ 记为已经检测合格的产品数量。
$\begin{align} p_i = b(r-1; i+r-1, p) = \binom{i+r-1} {r-1}(p)^{r-1}(1-p)^{i} p \tag{3.5} \end{align}$
与二项分布的区别：二项分布总是定下总的抽检数 $n$ ，把废品个数 $X$ 作为变量，而负二项分布则是定下次品数 $r$ ，把合格数量定为 $X$ 。

连续型随机变量的分布

密度函数定义及解释

定义：设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(X)$ ，则其导数 $f(x)={F}'(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数。
解释：由导数的物理意义可知，事件 $\{x<X \leq x+h\}$ 的概率应为 $F(x+h)-F(x)$ 。所以 $(F(x+h)-F(x))/h$ 可以理解为在单位点 $x$ 附近 $h$ 这么长的区间内，单位长所占的的概率。即总质量为1的金属棒，概率密度相当于杆上的各点的质量密度。

特点：

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$
$f(x)\geqslant 0$
对于任何常数 $a<b$ ，都有 $P(a<x<b)=F(b)-F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx$

1、正态分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$ 。

如果一个随机变量具有概率密度函数
$\begin{align} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \tag{4.1} \end{align}$

正态分布概率函数图像

正态分布的性质：

$f(x)$ 函数图像关于 $\mu$ 对称
当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，称为标准正态分布。
一般的，若 $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$ ，则有 $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$
$\Phi (x)$ 为服从正态分布的随机变量 $X$ 的分布函数，则有 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$

2、指数分布

指数分布的概率函数为
$\begin{align} f(x)= \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0,x\leqslant 0 \end{matrix}\right. \tag{4.2} \end{align}$
指数函数的分布函数为：
$\begin{align} F(x)= \left\{\begin{matrix} 1 - e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0,x\leqslant 0 \end{matrix}\right. \tag {4.3} \end{align}$
在指数函数中，常用于寿命分布， $\lambda$ 的意义为，元件在时刻 $x$ 尚能工作的情况下，其失效率为某个常数 $\lambda>0$ ，与 $x$ 无关。另外， $\lambda^{-1}$ 就是平均寿命。
$\begin{align} \frac{P(x\leqslant X \leqslant x+h | X>x)} {h} = \lambda\tag{4.4} \end{align}$

3、均匀分布，记为 $X \sim R(a, b)$

均匀分布的概率密度函数为：
$\begin{align} f(x)= \left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a}, a \leqslant x \leqslant b \\ 0, 其他 \end{matrix}\right. \tag{4.5} \end{align}$

均匀分布的分布函数为：
$\begin{align} F(x)= \left\{\begin{matrix} 0, x \leqslant a \\ \frac{x-a} {b-a} , a < x <b \\ 1, b \leqslant x \end{matrix}\right. \tag{4.6} \end{align}$