空间向量法证明空间中的垂直关系

2021-03-06 本文已影响0人天马无空

空间向量法证明空间中的垂直关系

方法二空间向量法

使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出
解题步骤：

第一步建立适当的空间直角坐标系；
第二步分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；
第三步利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.
【例】、在如图所示的几何体中， $EA\bot$ 平面 $ABC$ ， $DB\bot$ 平面 $ABC$ ， $AC\bot BC$ ， $AC=BC=BD=2AE$ ，,
$M$ 是 $AB$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $CM\bot EM$ ；

（Ⅱ）求 $CM$ 与平面 $CDE$ 所成的角.

【解析】

如图，以点 $C$ 为坐标原点，以 $CA$ ， $CB$ 分别为 $x$ 轴和 $y$ 轴，过点 $C$ 做平面 $ABC$ 垂直的直线为 $z$ 轴，建立直角坐标系 $C-xyz$ ，设 $EA=a$ ，则 $A(2a,0,0)$ ， $B(0,2a,0)$ ， $E(2a,0,a)$ ， $D(0,2a,2a)$ ， $M(a,a,0)$ .

（Ⅰ）证明：因为 $\stackrel{\longrightarrow}{EM}=(-a,a,-a)$ ， $\stackrel{\longrightarrow}{CM}=(a,a,0)$

所以 $\stackrel{\longrightarrow}{EM}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{CM}=0$ ，故 $CM\bot EM$ .

（Ⅱ）设向量 $\vec{n}=(1,y_0,z_0)$ 与平面 $CDE$ 垂直，

则 $\vec{n}\bot \stackrel{\longrightarrow}{CE}$ ， $\vec{n}\bot \stackrel{\longrightarrow}{CD}$ ，即 $\vec{n}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{CE} =0$ ， $\vec{n}\cdot \stackrel{\longrightarrow}{CD}=0$ ，

因为 $\stackrel{\longrightarrow}{CE} =(2a,0,a)$ ， $\stackrel{\longrightarrow}{CD} =(0,2a,2a)$ ，

所以 $y_0=2$ ， $x_0=-2$ ，即 $\vec{n}=(1,2,-2)$

$\cos<\vec{n},\stackrel{\longrightarrow}{CM}>=\dfrac{\stackrel{\longrightarrow}{CM}\cdot \vec{n} }{|\stackrel{\longrightarrow}{CM}|\cdot |\vec{n}|} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$