抽象代数汇总——数学竞赛

2019-02-07 本文已影响0人抄书侠

第五届：设群 $G=AB$ ，其中 $A,B$ 均为 $G$ 的 $Abel$ 子群，且 $AB=BA,\forall g_1,g_2\in G$ 用 $[g_1,g_2]$ 表示换位子，即， $[g_1,g_2]=g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1},G'$ 表示 $G$ 的换位子群（即由 $G$ 的换位子所生成的子群）证明：
(a) $\forall a,x\in A,\forall b,y\in B$ 有下式成立：
$[x^{-1},y^{-1}][a,b][x^{-1},y^{-1}]^{-1}=[a,b]$
(b) $G'$ 为 $Abel$ 群
第六届：设 $R$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数环，其加法为普通的函数加法，乘法为普通的函数乘法。 $I$ 为 $R$ 的一个极大左理想。证明： $\forall f,g\in I,f$ 与 $g$ 在 $[0,1]$ 上必有公共的零点。
第七届：设 $u_1,v_1,u_2,v_2$ 为群 $G$ 中的元素，满足 $u_1v_1=v_1u_1=u_2v_2=v_2u_2$ ，若 $u_1,u_2$ 的阶均为8， $v_1,v_2$ 的阶均为13.证明： $u_1u_2$ 的阶为4及 $v_1v_2$ 的阶为13
第八届：设 $(F,+,·)$ 是特征为 $p(p\not=0)$ 的域。1和0分别为 $F$ 的单位元和零元。若 $\varphi$ 为其加群 $(F,+,·)$ 到其乘法半群 $(F,·)$ 的同态，即 $\forall x,y\in F$ 有 $\varphi(x+y)=\varphi(x)\varphi(y)$ 证明： $\varphi$ 要么将 $F$ 的所有元映照为0，要么将 $F$ 的所有元映照为1
第九届：设 $G$ 为群，且满足： $\forall x,y\in G,(xy)^2=(yx)^2$ 证明： $\forall x,y\in G$ 元素 $xyx^{-1}y^{-1}$ 的阶不超过2

抽象代数汇总——数学竞赛

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