高等数学：函数与极限题选(4)

2018-11-19 本文已影响32人溺于恐

1. $\lim_{x\to 0}{tanx-sinx\over sin^3x}$

解：

$原式=\lim_{x\to 0}{sinx-sinxcosx\over cosxsin^3x}$

$=\lim_{x\to 0}{1-cosx\over cosxsin^2x}$

$=\lim_{x\to 0}{1\over cosx}\cdot\lim_{x\to 0}{2sin^2{x\over 2}\over sin^x}$

$=2\lim_{x\to 0}{sin^2{x\over 2}\over sin^x}$

$=2\lim_{x\to 0}{({x\over 2})^2\over x^2}={1\over 2}$

2. $\lim_{x\to 0}{sinx-tanx\over (\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}$

解：

$原式=\lim_{x\to 0}{(cosx-1)tanx\over (\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}$

$=\lim_{x\to 0}{-{1\over 2}x^2\cdot x\over {1\over 3}x^2\cdot {1\over 2}x}=-3$

3.证明无穷小的等价关系具有下列性质：

$(1)\alpha \sim \alpha(自反性)$

$(2)若\alpha \sim \beta,则\beta \sim \alpha(对称性)$

$(3)若\alpha \sim \beta,\beta \sim \gamma,则\alpha \sim \gamma(传递性)$

解：

$(1)\because \lim{\alpha \over \alpha}=\lim1=1$

$\therefore \alpha \sim \alpha$

$(2)\because \alpha \sim \beta$

$\therefore \lim{\alpha \over \beta}=1$

$\therefore \lim{\beta \over \alpha}=\lim{1\over {\alpha \over \beta}}={1\over \lim{\alpha \over \beta}}=1$

$\therefore \beta \sim \alpha$

$(3)\because \alpha \sim \beta,\beta \sim \gamma$

$\therefore \lim{\alpha \over \beta}=1,\lim{\beta \over \gamma}=1$

$\therefore \lim{\alpha \over \gamma}=\lim{\alpha \over \beta}\cdot{\beta \over \gamma}=\lim{\alpha \over \beta}\cdot\lim{\beta \over \gamma}=1$

$\therefore \alpha \sim \gamma$

4.判断 $y={1\over tanx},x=k\pi,x=k\pi+{\pi \over 2}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$ 的间断点类型,若是可去间断点,补充或改变函数定义使之连续

解：

$当k=0时,\lim_{x\to k\pi}{x\over tanx}=1$

$当k\neq 0时,\lim_{x\to k\pi}{x\over tanx}=\infty$

$\therefore x=k\pi(k=\pm 1,\pm 2,\cdots)为无穷间断点,属第二类间断点$

$\lim_{x\to k\pi+{\pi \over 2}}{x\over tanx}=0$

$\therefore x=0和x=k\pi+{\pi \over 2}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)为可去间断点,属第一类间断点$

$可补充定义y=\begin{cases}{x\over tanx}\qquad x\neq k\pi+{\pi \over 2}且x\neq 0\\ 0\qquad x=k\pi+{\pi \over 2}\\ 1\qquad x=0\end{cases}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$

$则此时y在x=0和x=k\pi+{\pi \over 2}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)点连续$

5.讨论函数 $f(x)=\lim_{n\to \infty}{1-x^{2n}\over 1+x^{2n}}x$ 的连续性间断点

解：

$\lim_{n\to \infty}{1-x^{2n}\over 1+x^{2n}}=\lim_{n\to \infty}(-1+{2\over 1+x^{2n}})$

$=\begin{cases}-1\qquad |x|\gt 1\\ 0\qquad |x|=1\\ 1\qquad |x|\lt 1\end{cases}$

$\therefore \lim_{n\to \infty}{1-x^{2n}\over 1+x^{2n}}x=x\lim_{n\to \infty}{1-x^{2n}\over 1+x^{2n}}$

$=\begin{cases}-x\qquad |x|\gt 1\\ 0\qquad |x|=1\\ x\qquad |x|\lt 1\end{cases}$

$\therefore \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(-x)=-1$

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x=1$

$\therefore x=1为跳跃间断点,属第一类间断点$

$\lim_{x\to -1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}x=-1$

$\lim_{x\to -1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(-x)=1$

$\therefore x=-1为跳跃间断点,属第一类间断点$

$\therefore f(x)在除x=1和x=-1处外,其他点都连续$

6.下列陈述中哪些是对的哪些是错的?若是对的,说明理由,若是错的,举出反例

(1)若函数f(x)在a连续,则|f(x)|也在a连续

(2)若函数|f(x)|在a连续,则f(x)也在a连续

解：

$(1)对,f(x)在a连续\Rightarrow \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

$\therefore ||f(x)|-|f(a)||\le |f(x)-f(a)|\to 0(x\to a)$

$\therefore |f(x)|也在a连续$

$(2)错,例如f(x)=\begin{cases}1\qquad x\ge 0\\ -1\qquad x\lt 0\end{cases}$

$则|f(x)|在a=0处连续,而f(x)在a=0处不连续$

7.证明：若函数f(x)在点 $x_0$ 连续,且 $f(x_0)\neq 0$ ,则存在 $x_0$ 的某一领域 $U(x_0)$ ,当 $x\in U(x_0)$ 时, $f(x)\neq 0$

证：

$不妨设f(x_0)\gt 0$

$\because f(x)在点x_0连续$

$\therefore \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\gt 0$

$由函数极限的局部保号性知$

$\exists \delta\gt 0,当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,有f(x)\gt 0$

$\therefore 当x\in U(x_0;\delta)时,f(x)\gt 0,即f(x)\neq 0$

8.设 $f(x)=\begin{cases}x\qquad x\in Q\\ 0,\qquad x\in R\backslash Q\end{cases}$ ,证明：

(1)f(x)在x=0连续

(2)f(x)在非零的x处都不连续

证：

$(1)\forall \varepsilon\gt 0,取\delta=\varepsilon,当|x-0|=|x|\lt \delta时$

$|f(x)-f(0)|=|f(x)|\le |x|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim_{x\to 0}f(x)=f(0),即f(x)在x=0连续$

$(2)要证：f(x)在非零的x处都不连续$

$即证：\forall x_0\neq 0,f(x)在x_0不连续$

$若x_0=r\neq 0,r\in Q,则f(x_0)=f(r)=r$

$取一有理数列{r_n}：r_n\to r(n\to \infty),r_n\neq r$

$取一无理数列{s_n}：s_n\to r(n\to \infty)$

$则\lim_{n\to \infty}f(r_n)=\lim_{n\to \infty}r_n=r$

$\lim_{n\to \infty}f(s_n)=\lim_{n\to \infty}0=0$

$又r\neq 0,由函数极限与数列极限的关系知$

$\lim_{x\to r}f(x)不存在,故f(x)在r处不连续$

$若x_0=s,s\in Q^c,同理可证：$

$f(x_0)=f(s)=0,但\lim_{x\to s}f(x),故f(x)在s处不连续$

$综上所述$

$\forall x_0\neq 0,f(x)在x_0不连续$

9.举出具有以下性质的函数f(x)的例子：

$x=0,\pm1,\pm2,\pm{1\over 2},\cdots,\pm n,\pm{1\over n},\cdots$ 是f(x)的所有间断点,且都是无穷间断点

解：

$例如f(x)=cot(\pi x)+cot{\pi\over x}$

高等数学：函数与极限题选(4)

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