手动实现一个BP网络

下面就让我们一起从零开始学习神经网络吧。实现方法搭建基本模块——神经元在说神经网络之前，我们讨论一下神经元（Neurons），它是神经网络的基本单元。神经元先获得输入，然后执行某些数学运算后，再产生一个输出。比如一个2输入神经元的例子：

在这里插入图片描述

在这个神经元中，输入总共经历了3步数学运算，先将两个输入乘以权重（weight）：
x1→x1 × w1x2→x2 × w2
把两个结果想加，再加上一个偏置（bias）：
（x1 × w1）+（x2 × w2）+ b
最后将它们经过激活函数（activation function）处理得到输出：
y = f(x1 × w1 + x2 × w2 + b)
激活函数的作用是将无限制的输入转换为可预测形式的输出。一种常用的激活函数是sigmoid函数：

在这里插入图片描述

sigmoid函数的输出介于0和1，我们可以理解为它把 (−∞,+∞) 范围内的数压缩到 (0, 1)以内。正值越大输出越接近1，负向数值越大输出越接近0。举个例子，上面神经元里的权重和偏置取如下数值：w=[0,1]b = 4w=[0,1]是w1=0、w2=1的向量形式写法。给神经元一个输入x=[2,3]，可以用向量点积的形式把神经元的输出计算出来：
w·x+b =（x1 × w1）+（x2 × w2）+ b = 0×2+1×3+4=7
y=f(w⋅X+b)=f(7)=0.999
以上步骤的Python代码是：

import numpy as np

    def sigmoid(x):
      # Our activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
      return 1 / (1 + np.exp(-x))

    class Neuron:
      def __init__(self, weights, bias):
        self.weights = weights
        self.bias = bias

      def feedforward(self, inputs):
        # Weight inputs, add bias, then use the activation function
        total = np.dot(self.weights, inputs) + self.bias
        return sigmoid(total)

    weights = np.array([0, 1]) # w1 = 0, w2 = 1
    bias = 4                   # b = 4
    n = Neuron(weights, bias)

    x = np.array([2, 3])       # x1 = 2, x2 = 3
    print(n.feedforward(x))    # 0.9990889488055994

我们在代码中调用了一个强大的Python数学函数库NumPy。搭建神经网络神经网络就是把一堆神经元连接在一起，下面是一个神经网络的简单举例：

在这里插入图片描述

这个网络有2个输入、一个包含2个神经元的隐藏层（h1和h2）、包含1个神经元的输出层o1。隐藏层是夹在输入输入层和输出层之间的部分，一个神经网络可以有多个隐藏层。把神经元的输入向前传递获得输出的过程称为前馈（feedforward）。我们假设上面的网络里所有神经元都具有相同的权重w=[0,1]和偏置b=0，激活函数都是sigmoid，那么我们会得到什么输出呢？

h1=h2=f(w⋅x+b)=f((0×2)+(1×3)+0)=f(3)=0.9526
o1=f(w⋅[h1,h2]+b)=f((0∗h1)+(1∗h2)+0)=f(0.9526)=0.7216

以下是实现代码：

    import numpy as np
    class OurNeuralNetwork:
      '''
      A neural network with:
        - 2 inputs
        - a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
        - an output layer with 1 neuron (o1)
      Each neuron has the same weights and bias:
        - w = [0, 1]
        - b = 0
      '''
      def __init__(self):
        weights = np.array([0, 1])
        bias = 0

        # The Neuron class here is from the previous section
        self.h1 = Neuron(weights, bias)
        self.h2 = Neuron(weights, bias)
        self.o1 = Neuron(weights, bias)

      def feedforward(self, x):
        out_h1 = self.h1.feedforward(x)
        out_h2 = self.h2.feedforward(x)

        # The inputs for o1 are the outputs from h1 and h2
        out_o1 = self.o1.feedforward(np.array([out_h1, out_h2]))

        return out_o1

    network = OurNeuralNetwork()
    x = np.array([2, 3])
    print(network.feedforward(x)) # 0.7216325609518421

训练神经网络现在我们已经学会了如何搭建神经网络，现在我们来学习如何训练它，其实这就是一个优化的过程。假设有一个数据集，包含4个人的身高、体重和性别：

在这里插入图片描述

现在我们的目标是训练一个网络，根据体重和身高来推测某人的性别。

在这里插入图片描述 为了简便起见，我们将每个人的身高、体重减去一个固定数值，把性别男定义为1、性别女定义为0。 image

在训练神经网络之前，我们需要有一个标准定义它到底好不好，以便我们进行改进，这就是损失（loss）。比如用均方误差（MSE）来定义损失：

在这里插入图片描述

n是样本的数量，在上面的数据集中是4；y代表人的性别，男性是1，女性是0；ytrue是变量的真实值，ypred是变量的预测值。顾名思义，均方误差就是所有数据方差的平均值，我们不妨就把它定义为损失函数。预测结果越好，损失就越低，训练神经网络就是将损失最小化。如果上面网络的输出一直是0，也就是预测所有人都是男性，那么损失是：

在这里插入图片描述

MSE= 1/4 (1+0+0+1)= 0.5计算损失函数的代码如下：

import numpy as np

def mse_loss(y_true, y_pred):
     # y_true and y_pred are numpy arrays of the same length.
      return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()

    y_true = np.array([1, 0, 0, 1])
    y_pred = np.array([0, 0, 0, 0])

print(mse_loss(y_true, y_pred)) # 0.5减少神经网络损失这个神经网络不够好，还要不断优化，尽量减少损失。我们知道，改变网络的权重和偏置可以影响预测值，但我们应该怎么做呢？为了简单起见，我们把数据集缩减到只包含Alice一个人的数据。于是损失函数就剩下Alice一个人的方差：

在这里插入图片描述

预测值是由一系列网络权重和偏置计算出来的：

在这里插入图片描述

所以损失函数实际上是包含多个权重、偏置的多元函数：

在这里插入图片描述

（注意！前方高能！需要你有一些基本的多元函数微分知识，比如偏导数、链式求导法则。）如果调整一下w1，损失函数是会变大还是变小？我们需要知道偏导数∂L/∂w1是正是负才能回答这个问题。根据链式求导法则：

在这里插入图片描述 而L=(1-ypred)2，可以求得第一项偏导数： image

接下来我们要想办法获得ypred和w1的关系，我们已经知道神经元h1、h2和o1的数学运算规则：
[图片上传失败...(image-2a4eb3-1613899191661)]

在这里插入图片描述

实际上只有神经元h1中包含权重w1，所以我们再次运用链式求导法则：[图片上传失败...(image-b028a3-1613899191660)]

在这里插入图片描述

然后求∂h1/∂w1
[图片上传失败...(image-6f3065-1613899191660)]

在这里插入图片描述

我们在上面的计算中遇到了2次激活函数sigmoid的导数f′(x)，sigmoid函数的导数很容易求得：

在这里插入图片描述

总的链式求导公式：

在这里插入图片描述

这种向后计算偏导数的系统称为反向传播（backpropagation）。上面的数学符号太多，下面我们带入实际数值来计算一下。
h1、h2和o1

         h1=f(x1⋅w1+x2⋅w2+b1)=0.0474
         h2=f(w3⋅x3+w4⋅x4+b2)=0.0474
         o1=f(  w5⋅h1+w6⋅h2+b3)=f(0.0474+0.0474+0)
         =f(0.0948)=0.524

神经网络的输出y=0.524，没有显示出强烈的是男（1）是女（0）的证据。现在的预测效果还很不好。我们再计算一下当前网络的偏导数∂L/∂w1：

在这里插入图片描述

这个结果告诉我们：如果增大w1，损失函数L会有一个非常小的增长。随机梯度下降下面将使用一种称为随机梯度下降（SGD）的优化算法，来训练网络。经过前面的运算，我们已经有了训练神经网络所有数据。但是该如何操作？SGD定义了改变权重和偏置的方法：

在这里插入图片描述

η是一个常数，称为学习率（learning rate），它决定了我们训练网络速率的快慢。将w1减去η·∂L/∂w1，就等到了新的权重w1。当∂L/∂w1是正数时，w1会变小；当∂L/∂w1是负数 时，w1会变大。如果我们用这种方法去逐步改变网络的权重w和偏置b，损失函数会缓慢地降低，从而改进我们的神经网络。训练流程如下：
1、从数据集中选择一个样本；
2、计算损失函数对所有权重和偏置的偏导数；
3、使用更新公式更新每个权重和偏置；
4、回到第1步。我们用Python代码实现这个过程：

由于代码较多，全部代码请到下面中免费获取

创客粮食.png

随着学习过程的进行，损失函数逐渐减小。

在这里插入图片描述

现在我们可以用它来推测出每个人的性别了：

%Make some predictions
emily = np.array([-7, -3]) # 128 pounds, 63 inches
frank = np.array([20, 2]) # 155 pounds, 68 inches
print(“Emily: %.3f” % network.feedforward(emily)) # 0.951 - F
print(“Frank: %.3f” % network.feedforward(frank)) # 0.039 - M