二项式定理客观题：2022年新高考数学题7

2022-06-21 本文已影响0人易水樵

$(x^2+x+\dfrac{1}{4})^5$ 的展开式中， $x^7$ 的系数为

$A.5\quad B.7\quad C.10 \quad D.15$

【解法一】

二项式定理是加法原理和乘法原理的推论；应用同样的方法，可以推出三项式定理乃至N项式定理：

$(x+y+z)^n = C^n_n C^0_0 x^n y^0z^0 + \cdots C^i_n C^j_{n-i} x^i y^jz^(n-i-j) +\cdots+ C^n_0 C^0_n x^0 y^0z^n$

$2\times3+1=7$

$2\times2+3=7$

所以，展开式中与 $x^7$ 相关的有两项：

$C^3_5C^1_2 (x^2)^3 (x)^1 (\dfrac{1}{4})^1 + C^2_5C^3_3(\dfrac{1}{4})^0$

$=15 x^7$

结论：选项D正确.

【解法二】

用标准的二项式定理展开，则

$(x^2+x+\dfrac{1}{4})^5$

$= C^5_5 (x^2)^5(x+\dfrac{1}{4})^0 +C^4_5 (x^2)^4(x+\dfrac{1}{4})^1 +\cdots+ C^0_5 (x^2)^0(x+\dfrac{1}{4})^5$

$=\cdots+ C^3_5 (x^2)^3(x+\dfrac{1}{4})^2 + C^2_5 (x^2)^2(x+\dfrac{1}{4})^3 +\cdots$

$=\cdots+ C^3_5 (x^2)^3(x^2 + \dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{16}) + C^2_5 (x^2)^2(x^3 + \cdots ) +\cdots$

$= \cdots + \dfrac{1}{2} C^3_5 x^7 + C^2_5 x^7 + \cdots$

$= \cdots + 15 x^7 + \cdots$

结论：选项D正确.

【提炼与提高】

二项式定理是高考的必考内容之一，一般以客观题的形式出现。

解法一中用到的升级版公式，并非必须记住；但对于提高解题速度和准确性，还是有帮助的.

【相关考题】

2015年，全国卷中曾经出现类似的考题详见下文：

更多二项式定理的考题，请看：