数学分析理论基础1：实数

2018-12-08 本文已影响66人溺于恐

实数

实数的正规表示

$实数\begin{cases}有理数：{p\over q}(p,q\in Z,q\neq 0),有限十进小数,无限十进循环小数\\ 无理数：无限十进不循环小数\end{cases}$

将有限小数与整数表示为无限小数：

$\forall x\gt 0,x=a_0.a_1a_2\cdots a_n,$

$其中0\le a_i\le 9,a_i\in N,i=0,1,2,\cdots,n且a_n\neq 0$

$记x=a_0.a_1a_2\cdots(a_n-1)999\cdots$

$对于y\lt 0,则先将-y表示为无限小数再加负号$

$0=0.000\cdots$

注：任何实数都可用一个唯一确定的无限小数表示

实数大小关系定义

$给定两个非负实数$

$x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots,\quad y=b_0.b_1b_2\cdots b_n\cdots$

$其中,0\le a_i\le 9,0\le b_i\le 9且a_i,b_i\in N,i=0,1,2,\cdots$

$(1)a_i=b_i,i=0,1,2,\cdots\Rightarrow x=y$

$(2)a_0\gt b_0,$

$或\exists l\in N,使得$

$a_i=b_i(i=0,1,2,\cdots,l)而a_{l+1}\gt b_{l+1}$

$\Rightarrow x\gt y,或y\lt x$

$对于负实数x,y,$

$-x=-y\Rightarrow x=y$

$-x\gt -y\Rightarrow x\lt y(或y\gt x)$

$规定：任何非负实数大于任何负实数$

实数的近似

$给定非负实数x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots$

$有理数x_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n为x的n位不足近似$

$有理数\bar{x_n}=x_n+\frac{1}{10^n}为x的n位过剩近似$

$对于负实数x=-a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots$

$n位不足近似：x_n=-a_0.a_1a_2\cdots a_n-\frac{1}{10^n}$

$n位过剩近似：\bar{x_n}=-a_0.a_1a_2\cdots a_n$

注： $x_n当n增大时不减,即x_0\le x_1\le x_2\le\cdots$

$\bar{x_n}当n增大时不增,即\bar{x_0}\ge\bar{x_1}\ge\bar{x_2}\ge\cdots$

实数大小关系另一种刻画

$给定两个实数$

$x=a_0.a_1a_2\cdots,\quad y=b_0.b_1b_2\cdots$

$x\gt y\Leftrightarrow \exists n\in N,使x_n\gt\bar{y_n}$

例： $x,y\in R,x\lt y.$ 证明： $\exists r\in Q$ 满足 $x\lt r \lt y$

证：

$\because x\lt y$

$\therefore \exists n\in N,使\bar{x_n}\lt y_n$

$令r=\frac{1}{2}(\bar{x_n}+y_n)$

$则r\in Q,且x\le \bar{x_n}\lt r\lt y_n\le y$

$即x\lt r\lt y\qquad \mathcal{Q.E.D}$

实数的性质

1.R对加减乘除(除数不为0)封闭

2.R有序,即 $\forall a,b\in R,必满足a\lt b,a=b,a\gt b之一$

3.大小关系有传递性,即 $a\gt b,b\gt c\Rightarrow a\gt c$

4.Archimedes性,即 $\forall a,b\in R,b\gt a\gt 0\Rightarrow \exists n\in Z_+,使na\gt b$

5.R有稠密性,即 $\forall a,b\in R,a\neq b,\exists c\in R,a\lt c\lt b$

6.R与数轴上的点一一对应

例： $a,b\in R$ ,证明： $\forall \varepsilon\gt 0,a\lt b+\varepsilon\Rightarrow a\le b$

证：

$假设a\gt b$

$令\varepsilon=a-b,则\varepsilon\gt 0$

$a=b+\varepsilon与a\lt b+\varepsilon 矛盾$

$由R的有序性知a\le b\qquad \mathcal{Q.E.D}$

绝对值与不等式

性质：

1. $|a|=|-a|\ge 0,当且仅当a=0时,有|a|=0$

2. $-|a|\le a\le |a|$

3. $|a|\lt h\Leftrightarrow -h\lt a\lt h;|a|\le h\Leftrightarrow -h\le a\le h(h\gt 0)$

4. $\forall a,b\in R,|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$

5. $|ab|=|a||b|$

6. $|{a\over b}|={|a|\over |b|}(b\neq 0)$

证明：性质4

证：

$-|a|\le a\le |a|,-|b|\le b\le |b|$

$\therefore -(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$

$即|a+b|\le |a|+|b|$

$b换成-b得$

$|a-b|\le |a|+|b|$

$又|a|=|a-b+b|$

$\therefore |a|\le |a-b|+|b|$

$\therefore |a|-|b|\le |a-b|$

$b换成-b得$

$|a|-|b|\le |a+b|$

$综上所述$

$\forall a,b\in R,|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|\qquad \mathcal{Q.E.D}$

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