数据结构与算法之时间复杂度（笔记）

数据结构：

• 定义：

   一门研究非数值计算的程序设计问题中的操作对象，以及它们之间的关系和操作等相关问题的学科。
  

• 分类：

  逻辑结构：
  - 定义：
        - 数据对象中数据元素之间的相互关系。
  - 种类：
        - 集合结构
        - 线性结构
        - 树型结构
        - 网络结构
  

  物理结构：

  • 定义：
    - 数据的逻辑结构在计算机的存储形式。

算法：

• 定义：

  指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
  

• 特征：
  - 输入项
  - 输出项
  - 有穷性
  - 确定性
  - 可行性

• 设计要求：
  - 正确性
  - 可读性
  - 健壮性
  - 时间复杂度
  - 空间复杂度

• 效率：
  - 度量方法：
  缺陷：事先编写好程序
  - 事前分析估计法：
  策略、代码质量、输入规模、执行指令

时间复杂度

• 定义：
  - 算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

• 计算方法：
  - 在进行算法分析时。语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量记作：T(n) = O( f(n) )。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

  - 一般情况下，随着输入规模n增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。 
  

• 攻略：
  - 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
  - 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
  - 如果最高项存在且不为1，则去除与这个项相乘的常数。
  - 得到的最后结果就是大O阶。

举例：

• 常数阶

int sum = 0, n =100;

printf("This a test!");

printf("This a test too!");

sum = (1+n)*n/2;

//时间复杂度为：O(1)

• 线性阶
  • 一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随问题规模n的矿大，对应计算次数呈直线增长。

int i, n = 100, sum = 0;

for(i = 0; i < n; i++){

sum = sum + i;

}

//时间复杂度为：O(n)

• 平方阶

int i, j, n = 100;

for(i = 0; i < n; i++){
    
    for(j = 0; j < n; j++){
        printf("This a second test!");      
    }
}

//时间复杂度为：O(n^ 2)

- 理解：

   n 等于 100 时,即外层循环每执行一次，内层循环就执行 100 次，从程序退出来，需要执行 100*100 次，即 n^2 所以这段代码的时间复杂度为O(n^ 2)。
   
- 总结：
  
  循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行次数。

int i, j, n = 100;

for( i = 0; i < n; i++){

    for( j = i; j < n; j++){
        
        printf("This a third test!");
        
    }
}

//时间复杂度为：O(n^ 2)

- 分析：

  当 i = 0 时，内循环执行 n 次，当 i = 1 时，内循环执行 n - 1 次......当 i = n -1 时，内循环执行 1 次，总的执行次数为：
  - n + (n -1) + (n -2) + (n -3) + (n -4) +......+1 = n*(n + 1)/2

• 对数阶

int i = 1, n = 100;

while(i < n){
    
    i = i * 2;
}

//时间复杂度为：O(log n )

- 分析：
   由于每次 i * 2 之后，距离 n 更近一步，假设有 x 个 2 相乘大于或等于 n 则退出循环
   2 ^ x = n
   x = log2^n

• 函数调用时间复杂度

int i, j;

for( i = 0; i < n; i++ ){

function(i);
}

void function(int count){

printf("%d",count);
}

//function函数的时间复杂度为：O(1)
//整体的时间复杂度为：O(n)

//假设：
void function(int count){

    int j;

    for( j = count; j < n; j++){
        printf("%d",j);
    }
}

//时间复杂度为：O(n ^ 2)

常见时间复杂度：

表达式	时间复杂度	类型
2017428	O(1)	常数阶
3n+4	O(n)	线性阶
3n^2+4n+5	O(n^2)	平方阶
3log2^n + 4	O(logn)	对数阶
2n+2n^2+4n+6	O(nlogn)	nlogn阶
n3+2n2+4n+6	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

• 常用时间复杂度所消耗的时间从小到大排序：

  O(1) < O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)