对函数相关内容的认知与解读

函数概念是数学学科的重要概念。

其一，课程标准中的要求。《普通高中数学课程标准》指出“用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法”，要求“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式"，认为单元的学习可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性，

其二，函数在小学数学教学中的渗透。虽然在小学数学教材中并不提及函数，然而，函数的思想却在小学数学的知识体系中无处不在。例如小学数学中关于正比例、反比例的知识，乘船或者坐车问题等。

其三，函数本质的教学贯穿于从小学至大学。函数教学首先遇到的问题是学生在初中已经学过函数的概念，是用变量关系讲授的，高中又要通过对应关系重新定义函数，这是为什么呢!重新定义是必要的吗?在过去的数学教育中，教科书没有论及这个问题，因此在教学过程中也不涉及这个问题，于是给学生留下了一个错误认识，即函数有两个定义，这两个定义是有区别的，都是应当记忆的。可以看到，这样的教学活动无法让学生理解函数概念的本质，更无法让学生感悟数学的基本思想，形成和发展数学核心素养。

事实上，对于函数的概念，对应关系实现了更高层次的抽象。在变量关系的函数定义中，我们仍然可以感知物理背景，一个量变化另一个量也随之变化。甚至可以通过表达式来感知这个变化。因为有具体的背景，这样定义的函数是直观的，在初中阶段也是合适的。但是，凡是具体的就必然会出现特例，比如，通过变量关系定义的函数判断不了这样的问题：一个函数是f(x) =sin'x+cos'x， 另一个函数是g(x) =1， 这两个函数的表达式不同，就是两个不同的函数吗?通过对应关系的函数定义就可以对这个问题进行判断了：这两个函数是同一个函数，因为定义域相同，对应关系相同。通过这样的教学，学生可以知道用对应关系重新定义函数是必要的，从而感悟函数的本质是对应关系，理解研究函数的性质必须注意函数的定义域。通过这个过程，可以感悟数学抽象的层次性，知道数学抽象使得数学概念具有了一般性。这就是培养学生核心素养的教学。

进一步，为什么在定义中要求实数集合到实数集合的对应呢?过去高中数学教学也不论及这个问题，但这个问题是本质性的。如果按照变量关系定义函数， 当自变量x是角度时， sinx是函数， 但这时的角度不是实数，无法进行诸如x+sinx之类的计算。作为函数的三角函数， 自变量就不能再是常规定义的角度，必须是实数。这就要求用长度刻画角的大小，比如用角所对应的单位圆的弧长来刻画角的大小，这就是弧度制。

更进一步，如果不用实数与实数的对应关系，有些函数就很难表达清楚，比如狄利克雷函数。此外，在高中数学中还要接触一个重要极限，这就是sinx与自变量之比， 当自变量趋于0时， 极限为1。这时的函数必须是实数与实数的对应，因此，在函数概念的教学中突出数学的本质，才能让学生感悟数学的思想，形成和发展数学核心素养。

这就要改变教学设计的思路，不能像传统的数学教学那样，按照每一节课或每一个知识点进行教学设计，而应当把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计。这是因为，对于数学的内容，很难通过一节课或一个知识点把数学的本质表达清楚，比如上面说到的函数的概念。无论是把这个整体称为“单元”还是“主题”，总之，都要把这些内容融为一体进行教学设计，并且付诸实施，这样才能在关注知识技能的同时，认真思考数学的本质，体现数学思想，培养学生的数学核心素养。

初中数学老师在教授函数这一内容时，发现学生在理解函数的定义时感到吃力，这往往成为教学的难点所在。从大概念视角思考，破解这一难题可以从小学做起。如果小学数学老师有大概念思想和意识，便可以在教学生学习正比例、反比例或者乘车、船问题时有意识地渗透函数思想。那么，学生升到初中学习函数时，因为有了很好的铺垫，再学函数的定义会变得容易得多。大概念思维其实就是站在课程与学科的视野上，不局限于一节课、一个单元，而是引领老师与学生持续地理解学科本质，理解学科中最重要的大概念。学科学习有一定的规律，对学科核心概念的理解总是从低到高螺旋上升的，比如物理学科的力学、热学、光学、电学，从小学科学课，到初中、高中、大学的物理课，是一个明显的螺旋上升的排列方式。