定矩阵的基本性质

2021-01-17 本文已影响0人 Boye0212

正定（P. D.，positive definite）、负定（N. D.）、半正定（P. S. D.，positive semidefinite）、半负定（N. S. D.）统称定矩阵。
定矩阵有如下一些性质：

$a$ 为 $n\times 1$ 向量，则 $A=aa'$ 必为半正定矩阵；
若 $A$ 半正定（正定），则 $A$ 的所有特征值均不小于（大于） $0$ ；
若 $A$ 为 $n\times n$ 的实对称半正定矩阵，则必存在矩阵 $C$ 使得 $A=C'C$ 。注意这里的 $C$ 不是唯一的，因为 $A$ 为实对称半正定矩阵，必存在正交阵 $X$ 和非负对角阵 $\Lambda$ 使得 $A=X\Lambda X'=X\Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2} X'=C'C$ （见实对称矩阵的基本性质），其中 $\Lambda^{1/2}=\text{diag}\{\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n}\}$ ， $C$ 可取 $C=\Lambda^{1/2}X'$ 或 $C=X\Lambda^{1/2}X'$ 。