我的机器学习笔记(二) - 单变量线性回归

2016-09-20 本文已影响0人 Daniellaah

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模型展示
- 训练集

什么是训练集(Training Set)？有训练样例(training example)组成的集合就是训练集。如下图所示，右边的两列数据就是本例子中的训练集，其中$(x, y)$是一个训练样例，$(x^{(i)}, y^{(i)})$是第$i$个训练样例。

假设函数

通过训练集和学习算法我们就可以得到假设函数(Hypothesis Function)，假设函数记为h。在房屋的例子中，我们的假设函数就相当于一个由房屋面积到房屋价格的近似函数，通过这个假设就可以得出相应面积房屋的估价了。如下图所示：

那么我们该如何表示假设函数呢？在本例中，只有一个变量x(房屋的面积)，我们可以将假设函数h以如下的形式表示：$${h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x}$$为了方便$h_\theta(x)$也可以记作$h(x)$。这个就叫做单变量的线性回归(Linear Regression with One Variable)。(Linear regression with one variable = Univariate linear regression，univariate是one variable的装逼写法。) 如下图所示。

代价函数

在刚才的假设函数中有两个未知的参数$\theta_0$和$\theta_1$，当选择不同的$\theta_0$和$\theta_1$时，我们模型的效果肯定是不一样的。如下图所示，列举了三种情况下的假设函数。

那么我们该如何选择这两个参数呢？我们的想法是选择$\theta_0$和$\theta_1$，使得对于训练样例$(x,y)$，$h_\theta(x)$最接近$y$。即，使每个样例的估计值与真实值之间的差的平方的均值最小。用公式表达为:
$${\mathop{minimize}\limits_{\theta_0,\theta_1} \frac{1}{2m}\sum_{i=0}^{m\left(h_\theta(x}{(i)})-y^{(i)}\right)2}$$
将上面的公式minimize右边部分记为$J(\theta_0,\theta_1)$：
$${J(\theta_0,\theta_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=0}^{m\left(h_\theta(x}{(i)})-y^{(i)}\right)2}$$
这样就得到了我们的代价函数(Cost Function)$J(\theta_0,\theta_1)$，我们的目标就是$$\mathop{minimize}\limits_{\theta_0,\theta_1}J(\theta_0,\theta_1)$$

代价函数II

现在为了更方便地探究$h_\theta(x)$与$J(\theta_0,\theta_1)$的关系，我们先令$\theta_0$等于0。这样我们就得到了简化后的假设函数，相应地也可以得到简化的代价函数。如图所示:

简化之后，我们再令$\theta_1=1$，就得到$h_\theta(x)=x$如下图左所示。图中三个红叉表示训练样例，通过代价函数的定义我们计算得出$J(1)=0$，对应下图右中的$(1,0)$坐标。

重复上面的步骤，再令$\theta_1=0.5$，得到$h_\theta(x)$如下图左所示。通过计算得出$J(0.5)=0.58$，对应下图右中的$(0.5,0.58)$坐标。

对于不同的$\theta_1$，可以得到不同的假设函数$h_\theta(x)$，于是就有了不同的$J(\theta_1)$的值。将这些点连接起来就可以得到$J(\theta_1)$的曲线，如下图所示：

代价函数III

在上一节中，我们令$\theta_0$等于0，得到$J(\theta_1)$的曲线。如果$\theta_0$不等于0，例如$\theta_0=50$, $\theta_0=0.06$，此时就有两个变量，很容易想到$J(\theta_1)$应该是一个曲面。

这个图是教授用matlab绘制的，由于3D图形不太方便我们研究，我们就使用二维的等高线(上图右上角教授写的contour plots/figures)，这样看上去比较清楚一些。如下图右，越往里表示$J(\theta_0,\theta_1)$的值越小(对应3D图中越靠近最低点的位置)。下图左表示当$\theta_0=800$, $\theta_1=0.15$的时候对应的$h_\theta(x)$，通过$\theta_0$, $\theta_1$的值可以找到下图右中$J(\theta_0,\theta_1)$的值。

类似地：

我们不断尝试直到找到一个最佳的$h_\theta(x)$，使得$J(\theta_0,\theta_1)$最小。当然我们不可能随机猜测或者手工尝试不同参数的值。我们能想到的应该就是通过设计程序，找到最佳的$h_\theta(x)$，也就是最合适的$\theta_0$和$\theta_1$。

梯度下降I

我们先直观的感受一下什么是梯度下降(Gradient Descent)。想要找到最合适的$\theta_0$和$\theta_1$，我们可以先以某一$\theta_0$和$\theta_1$开始，然后不断改变$\theta_0$和$\theta_1$的值使得$J(\theta_0,\theta_1)$值不断减小，直到找到一个最小值。

如下图所示，从某一点开始，每次沿着一定的梯度下降直到到达一个极小值为止。

当从不同的点开始时(即不同的$\theta_0$和$\theta_1$)，可能到达不同的最小值(极小值)，如下图：

现在我们大概知道什么是梯度下降了，就好比下山一样，不同的山路有不同的坡度，有的山路走得快有的走得慢。一直往地处走有可能走到不同的最低点。那么我们每次该如何应该如何改变$\theta_0$和$\theta_1$的值呢？如下图所示，这里提到了梯度下降算法(Gradient Descent Algorithm)，其中$:=$表示赋值，$\alpha$叫做学习率，$\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_0, \theta_1)$叫做梯度。这里一定要注意的是，算法每次是同时(simultaneous)改变$\theta_0$和$\theta_1$的值，如图下图所示。