担保模型

2019-03-08  本文已影响0人  離塵真心

一、问题的提出

如何量化地比较不同担保公司的担保实力？可以考有一个思路是，算一算假定后续不再新增担保的情况下，担保公司破产的概率是多少。当然，此处的破产不

问题1：简化的担保模型

某担保公司以自有资金Z元开展担保业务，对外有n笔担保，每笔担保额X_i占总担保额X的百分比分别是x_1,x_2,\cdots ,x_n，有\sum_{i=1}^n{x_i}=1，0<x_i \le 1，且X>Z。每一笔担保要履行担保义务（即代偿）的概率都是p，且相互独立，所有担保同时到期，定义“担保到期时需要代偿的金额超过自有资金”为担保公司破产。求该担保公司破产的概率p_b。

问题2：重庆兴农融资担保集团披露格式

将问题1中的相应条件改为：

每笔担保额占比为x_1,x_2……x_n ，其中x_1\ge x_2 \ge …… \ge x_n。只有前m笔的担保金额已知，其余x_i未知。在保余额X已知，且M>Z，即已知x \cdot \sum_{i=1}^{n}{x_i}={X}>Z。

将所问的问题改为：

记p_b(x_{m+1},…,x_n)为给定x_{m+1},…,x_n的值时，担保公司无法完全履行担保义务的概率。根据担保中笔数n是否已知，分情况求p_b(x_{m+1},…,x_{n})的最大值和最小值，并给出当x_{m+1},…,x_n满足什么条件时，p_b可以取到最大值，最小值（或趋近于上下确界）。

问题3：瀚华金控股份有限公司披露格式

将问题1中的相应条件改为：

将每一笔担保额按区间进行统计，得到：

单笔金额占比（元） 担保余额（元）
(a_0,a_1]，其中a_0=0 y_0
\cdots \cdots
(a_{k-1},a_k] y_{k-1}
\cdots \cdots
(a_{N-1},a_N] y_{N-1}
(a_N,+\infty) y_N

该表中所有的量均已知，但是具体每一笔担保金额的占比x_1,x_2……x_n未知，总担保笔数n未知。

记p_b(x_{1},…,x_n)为给定满足上表的x_{1},…,x_n的值时，担保公司无法完全履行担保义务的概率。求p_b(x_{1},…,x_{n})的最大值和最小值，并给出当x_{1},…,x_n满足什么条件时，p_b可以取到最大值，最小值（或趋近于上下确界）。

问题4：123混合披露格式+多类违约率

实际中，担保公司的担保业务类型可能不止一种，比如可分为融资担保、非融资担保；融资担保中，又可分为小额的贷款担保、大额的债券担保。每一块业务的披露格式可能不同，每一块业务的代偿率可能不同。假定所有担保之间相互独立，求担保公司整体的破产概率。

二、解答

问题1的解答

解答1：精确解

出现代偿共有 2^n种情形，代偿金额可以描述为：\sum^n_{i=1}{x_i I_i}，其中I_i是随机变量，I_i=1时代表x_i这笔担保发生代偿，I_i=0 时代表该笔担保未发生代偿。

I_i的分布律如下表

I_i I_i=0 I_i=1
P 1-p p

则所求即为：事件x \cdot \sum^n_{i=1}{x_i}{I_i} > Z 的概率

解法如下：

  1. 将每种代偿的情况列出
  2. 计算每种代偿金额的和，其中记N为实际代偿笔数
  3. 将代偿金额超过Z的情况对应的发生概率p^N(1-p)^{n-N} 求和，所得即为所求p_b

例：Z=3 ，x \cdot (x_1,x_2,x_3)=(3,2,1)

\sum{x_i}{I_i} P(x \cdot \sum{x_i}{I_i}) x\sum{x_i}{I_i}>Z
0 (1-p)^3 \times
3 p(1-p)^2 \times
2 p(1-p)^2 \times
1 p(1-p)^2 \times
3+2 p^2(1-p) \checkmark
3+1 p^2(1-p) \checkmark
2+1 p^2(1-p) \times
3+2+1 p^3 \checkmark

故所求p_b=p^2(1-p)+p^2(1-p)+p^3=p^2(2(1-p)+p)=p^2(2-p)

一般地，所求p_b = \sum_{N=1}^n{c_Np^N(1-p)^{n-N}}，是关于p的一个多项式。其中c_N是指出现N笔代偿时，有c_N个情形使得担保公司破产。因此有0 \le c_N \le \binom{n}{N}

解答2：当担保笔数n很大时的近似解

加条件：0 < \underline{X} \leq X_i \leq \overline{X} < \infty(\forall{i}) ，即：

  1. 担保额须高于某一金额\underline{X}
  2. 担保额不超过某一金额\overline{X}

套用Lyapunov中心极限定理

设\{X_1, X_2, …\}为一列相互独立的随机变量，各自的期望\mu_i、方差\sigma^2_i有限。定义

s_n^2=\sum_{i=1}^n{\sigma^2_i}

如果存在\delta>0，满足以下的Lyapunov条件：
\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{s_n^{2+\delta}} \sum_{i=1}^n{\mathrm{E}\left[ |X_i-\mu_i|^{2+\delta} \right]}}=0
则当n \to \infty时，\frac{X_i-\mu_i}{s_n}的和依分布收敛到标准正态分布，即：
\frac{1}{s_n}\sum_{i=1}^n{(X_i-\mu_i)} \xrightarrow{d}N(0,1)

求解答1中构造的\sum_{i=1}^n x_iI_i 这个随机变量的近似分布。

每个单项x_iI_i的方差\sigma ^2_i = x_i^2p(1-p)

则S_n^2 = \sum^n_{i=1}{\sigma^2_i}=p(1-p)(\sum^n_{i=1}x_i^2)

取\delta=1，即取2+\delta=3

|{x_i}{I_i}-{x_i}p|^3的分布律为：

I_i 0 1
｜x_i{I_i}-x_ip｜^3 (x_ip)^3 \left[x_i(1-p) \right]^3
P 1-p p

则期望\mathrm{E}|x_iI_i-x_ip|^{2+1}=(x_ip)^3\cdot(1-p)+[x_i(1-p)]^3\cdot p=x_i^3\cdot[p^3(1-p)+p(1-p)^3] \triangleq x_i^3M(p)

从而\sum_{i=1}^nE|x_iI_i-x_ip|^{2+1}=M(p)\cdot\sum^n_{i=1}x_i^3

s_n^3=\left[p(1-p)(\sum^n_{i=1}x_i^2) \right]^{\frac{3}{2}}\triangleq M'(p)\cdot (\sum^n_{i=1}x_i^2)^{\frac{3}{2}}

检验Lyapunov条件：

\frac{ {\sum^n_{i=1}\mathrm{E}|x_iI_i-x_ip|^{2+\delta}} }{s_n^{2+\delta}} = \frac {M(p)} {M’(p)} \frac {\sum^n_{i=1}x_i^3}{\left(\sum^n_{i=1}x_i^2 \right)^{\frac{3}{2}}}

其中
0 \leq \frac {\sum^n_{i=1}x_i^3}{\left(\sum^n_{i=1}x_i^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \le \frac {\sum^n_{i=1} (\overline{X} / \underline{X})^3 \cdot (1/n)^3}{\left( \sum^n_{i=1} (\underline{X} / \overline{X})^2 \cdot (1/n)^2 \right) ^{\frac{3}{2}}}

= \left( \frac {\overline{X}}{\underline{X}} \right) ^6 \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)

因此\sum x_i I_i 满足Lyapunov中心极限定理条件，因此有：

\frac {1}{s_n}\cdot \sum _{i=1}^n\left(x_iI_i-x_ip\right) \xrightarrow{d} N\left(0,1\right)

从而\sum ^n_{i=1}x_iI_i的近似分布是N\left(\sum^n_{i=1}x_ip, \ \left(\sum^n_{i=1}x_i^2\right)p^2(1-p)^2\right)

查表可求得:

p_b=P \left( x\sum^n_{i=1}x_iI_i > Z \right) = P \left(\frac{\sum^n_{i=1}(x_iI_i-x_ip)}{s_n} > \frac{Z/x-p}{s_n} \right) = 1- \Phi \left (\frac{Z/x-p}{s_n} \right)

问题2、3的解答

解答1：精确解（无解）

由于达到最大值时对应的未知部分x_{m+1},\cdots,x_m 的形态不确定，依赖于代偿的概率p 、自有资金Z ，因而较难解出。

例：未知部分共5笔，合计为x=10，x \cdot x_m=3

情况1：x\cdot(x_1,\cdots ,x_5)=3,3,2,1,1

情况2：x\cdot(x_1,\cdots ,x_5)=2,2,2,2,2

令Z=5，

情况1，破产概率p_1=p^2(1-p)^3+7 \cdot p^3(1-p)^2+5p^4(1-p)+p^5

情况2，破产概率p_2=10p^3(1-p)^2+5p^4(1-p)+p^5

p_1-p_2=p^2(1-p)^3-3p^3(1-p)^2=p^2(1-p)^2[1-p-3p]=p^2(1-p)^2(1-4p)

当p>1/4时，p_1<p_2；当p<1/4时，p_1>p_2。

取Z=8，

情况1，破产概率p_1=2p^4(1-p)+p^5

情况1，破产概率p_2=p^5

因此p_1>p_2。

取p=0.26>1/4时，Z的取值会影响p_1、p_2的大小关系；

取Z=5时，p取值会影响p_1、p_2的大小关系。

解答2：担保笔数n很大时的近似解

对于问题2和问题3，p_b= 1- \Phi \left (\frac{Z/x-p}{s_n} \right)关于s_n单调增加，因此当s_n取最大（上确界）和最小（下确界）时，p_b可以取到最大（上确界）和最小（下确界）。可以借鉴到之前的研究《如何比较两组应收款哪一个更分散——降序比例截断样本估计分散度区间》中的一个结论：

记S=\sum_{i=1}^{N}{x_i^2}，其中0 \leq x_i \leq 1，且满足x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_N，\sum_{i=1}^N{x_i}=1。其中x_1, \cdots ,x_n已知，其余的x_i未知，N<n，N未知。

命题1：对于某一个N，S 取最小值时，未知的部分取x_{n+1}=\cdots=x_N =(1-\sum_{i=1}^{n}{x_i})/(N-n)。令N \rightarrow \infty，则S在不确定N的取值时，下确界为S=\sum_{i=1}^{n}{x_i^2}

命题2：S取最大值时，比例未知部分尽量堆得更“集中”。

所谓“集中”，指：未知项中，至多有一项的占比小于已知的最后一名的占比，如：

例1：剩余未知部分的和为\sum_{i=n+1}^N{x_i}=0.2 \triangleq c，且x_n=0.21，则后续序列尽量往前堆，即取x_{n+1}=c=0.2 x_{n+2}=x_{n+3}=\cdots=0。

例2：剩余部分比例为\sum_{i=n+1}^N{x_i}=0.3 \triangleq c，且x_n=0.12，则后续序列必须小于x_n=0.12，因此持续未知序列至少有3项。取x_{n+1}=x_{n+2}=0.12，x_{n+3}=0.06，x_{n+4}=x_{n+5}=\cdots=0

问题2的解答

直接利用命题1和命题2的结论即可。一般情况下不会强制规定每一笔担保占比的最小值，但是以防万一，在理论上先给予解决。

担保笔数n已知

上确界（最大值）

p_b“取”上确界时（实际上取不到），按照n未知时求s_n^2最大的情形代入（未知部分尽量堆得更“集中”），可解得p_b的上确界。此时上确界取不到。

如果要求每一笔担保金额占比不小于某一比例\underline{x}，则先令未知部分每一笔的占比为\underline{x}，再把剩余的部分尽量堆得更“集中”。此结论可以通过将每一项x_i'=x_i-\underline{x}来证明。求未知部分x_{m+1}^2+ \cdots +x_{n}^2最大值，转化为：

x_{m+1}^2+ \cdots +x_{n}^2

=(x_{m+1}'+\underline{x})^2+ \cdots +(x_{n}'+\underline{x})^2

=(n-m)\underline{x}^2+2(x_{m+1}'+\cdots +x_n')\underline{x}+{x'}_{m+1}^2+ \cdots +{x'}_{n}^2

=(n-m) \underline{x}^2+2 \left( 1-\sum_{i=1}^m(x_i)-(n-m)\underline{x} \right)\underline{x} +\left({x'}_{m+1}^2+ \cdots +{x'}_{n}^2 \right)

其中前2项均为已知量，只有第3项为未知，转化为命题2中的情形。

下确界（最小值）

p_b的下确界可以取到，令未知部分每笔担保金额占比均为x_i=\frac{1-\sum_{i=1}^m{x_i}}{n-m} \ ,i=m+1,\cdots,n即可。

担保笔数n未知

上确界（最大值）

如果不要求每项x_i的最小值，则直接套用命题2即可。

如果要求每项x_i \geq \underline{x}>0有最小值，则担保笔数有上界，可以枚举所有担保笔数n的情况，求出每个n值的情况下的最大值（转化为担保笔数已知的情形），再求整体的最大值。

下确界（最小值）

直接套用命题1的结论即可。

问题3的解答

分别在每一区间上，套用问题2的解答。比如，问题3中的表

单笔金额占比（元） 担保余额（元）
(a_0,a_1]，其中a_0=0 y_0
\cdots \cdots
(a_{k-1},a_k] y_{k-1}
\cdots \cdots
(a_{N-1},a_N] y_{N-1}
(a_N,+\infty) y_N

中，

第一行这个区间，相当于不设定单项最小值、n未知的情形。

第二行这个区间，相当于设定单项最小值、给定n未知（区别只是这里既限定了n的最大值，也限定了n的最小值）的情形。

最后一行这个区间，相当于命题2中的c=1、n给定最大值、设定单项最小值的情形。

问题4的解答

对于问题1中的情形与问题2、3情形的混合。对于问题2、3情形的混合，根据正态分布随机变量的性质，可以卷积得到各部分代偿量的随机变量之和的正态分布。由于问题1中发生代偿的所有情形可以列出为A_1,A_2,\cdots,A_s（不太多时），因此利用全概率公式，可以计算整体的担保公司破产的概率，即
p_b=\sum_{i=1}^s{P\left( \left. x \cdot \sum^n_{i=1}{x_i}{I_i} > Z \right| A_i \right) P\left( A_i \right)}
如果A_1,A_2,\cdots,A_s总共的数量太多，则可以利用Lyapunov中心极限定理进行简化计算，直接得到若干个正态随机变量。之后可以直接利用正态分布的性质进行卷积。

三、反思模型中的假设是否正确

1、每笔担保相互独立

本文认为，每笔担保相互独立，可以理解为我违约，不会拖累上别人违约；我不违约，不会让别人不违约，这就把山东互保民企的情况排除了。对于这类，可以将其加总成一笔担保，即假定他们之间的完全相关，以此保守估计担保公司破产的概率。

2、担保的债务同时到期

本文认为，假定担保的债务同时到期是对担保公司破产的一种保守估计，即不考虑担保保费及其他收入对于自有资金的补充。如果像保险精算那样估计，则现有精算理论需要知道每一笔担保的余额、期限，在对担保公司的信用评价实务中获得这样翔实的数据，是不现实的。

3、什么情况下才能叫“担保笔数很大”

建议对各个担保情形下标准化的代偿金额的正态性进行检验，如直方图观察、非参检验（如Kolmogorov检验）、参数检验（JB检验）等等。

4、代偿后损失全部的代偿金额（顾舜洁）

问：实务中的担保，有许多是有反担保、再担保转出情形的，如何纳入模型进行度量？

答：可以根据反担保物的情况，设定I_i的所有取值不是0和1，而是反担保/再担保的回收率p_f和1。

5、代偿概率p如何获得（顾舜洁）

问：代偿概率通常不知道

答：

  1. 可以用历史代偿率来替代。
  2. 可以固定住担保公司倒闭的概率（比如5%），反算出担保公司可以承受的最大代偿概率，以此来评价担保公司的担保实力。
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