无线通信学习笔记(二) 大尺度路径损耗

2019-09-28 本文已影响0人 YiqingZhu

Wireless Communications by Andrea Goldsmith的读书笔记。

大尺度路径损耗(path loss & shadowing)

信号传播概述

在无线信道上实现高速的通信系统面临的挑战，除了噪音和干扰，还有信道特征会随着用户的移动发生无法预测的变化。第二章将介绍路径损耗(path loss)和阴影衰落(shadowing)给接收信号带来的影响。因为路径损耗的差异在很长距离(100-1000米)上才显著，而阴影衰落的差异在与障碍物尺度相当的距离(10-100米)上才显著，所以它们带来的影响也被称为大尺度损耗。多径效应带来的小尺度衰落(fading)将在第三章中介绍。总结的说，对于无线信道衰落的特征将如下展开

路径衰落(包括平均阴影衰落)
阴影衰落(障碍物引起的效应)
多径衰落

本章主要关注前两者。

传输与接收信号模型

由于在实际物理可实现的器件上产生和处理的都是实信号，所以传输与接收信号模型也都是实信号。
通常通信系统中的信号是一个带通信号(bandpass)，满足 $B\operatorname{<<}f_c$ ，其中 $B$ 为带宽， $f_c$ 为载波频率。我们把带通信号表示为：
$s_p(t)=s_I(t)\cos(2\pi f_c t+\phi_0)-s_Q(t)\sin(2\pi f_c t+\phi_0)$ 并定义复信号
$s_b(t)=s_I(t)+js_Q(t)$ 其中 $s_I(t)$ 称为同相分量(in-phase component)， $s_Q(t)$ 称为正交分量(quadrature component)， $s_b(t)$ 称为 $s_p(t)$ 的等价基带信号(equivalent baseband signal)或者复包络(complex envelope)。

从以上定义可以推出从等价基带信号得到带通信号的方法：

$\begin{aligned} s_p(t)&=s_I(t)\cos(2\pi f_c t+\phi_0)-s_Q(t)\sin(2\pi f_c t+\phi_0)\\&=\mathscr{R}\{s_b(t)\}\cos(2\pi f_c t+\phi_0)-\mathscr{J}\{s_b(t)\}\sin(2\pi f_c t +\phi_0)\\&=\mathscr{R}\{s_b(t)e^{j(2\pi f_ct)}\} \end{aligned}$ 和从带通信号得到等价基带信号的方法：(在narrowband assumption $T\operatorname{>>}\frac{1}{f_c}$ 下)
$\begin{gathered} s_I(t)\approx\frac{2}{T}\int_0^T{s_p(t)\cos(2\pi f_c t)\,\rm{d}t}\\ s_Q(t)\approx-\frac{2}{T}\int_0^T{s_p(t)\sin(2\pi f_c t)\,\rm{d}t} \end{gathered}$ 带通信号是介质中传输和接收的信号(频率约为 $f_c$ 的电磁波)。而我们可以通过等价基带信号在等价的低通(lowpass)模型上进行分析，从而简化DSP和数学分析。

接受的信号表示为：
$r(t)=\mathscr{R}\{v(t)e^{j2\pi f_c t}\}+n(t)$ 其中 $v(t)$ 是 $s(t)$ 经历信道衰减后的结果。对于时不变信道，我们可以用信道的冲激响应(impulse response)来表述：
$v(t)=u(t)*c(t)$ 其中 $c(t)$ 是等价低通信道的冲激响应。加性噪音 $n(t)$ 在这章中暂时不加考虑，将在之后章节对无线系统的容量性能分析中再涉及。

最后，当传输方和接收方之一在移动时，还需要考虑多普勒(Doppler)效应带来的频移:
$f_D=\frac{1}{2\pi}\frac{\Delta \phi}{\Delta t}=v\cos\frac{\theta}{\lambda}$ 多普勒效应的影响将在第三章讨论。

路径衰落模型

自由空间路径衰落

自由空间路径衰落只考虑直线(line-of-sight, LOS)路径且没有障碍物的情况。接受到的信号为：
$r(t)=\mathscr{R}\{\frac{\lambda \sqrt{G_l}e^{-j2\pi d/\lambda}}{4\pi d}u(t)e^{j2\pi f_c t}\}$ 其中 $\sqrt{G_l}$ 是传输和接收天线在LOS方向上场辐射图样(radiation patterns)的积。频移 $e^{-j2\pi d/\lambda}$ 则是由信号在空间中的传播距离 $d$ 造成的。
传输信号 $s(t)$ 的功率为 $P_t$ ，那么接收信号的功率为：
$\frac{P_r}{P_t}=[\frac{\sqrt{G_l}\lambda ^2}{4\pi d}]^2$

Two-Ray Model

考虑LOS路径和一个地面反射路径的叠加。与自由空间的情况类似的，我们可以写出接受到的信号：
$r_{2-ray}(t)=\mathscr{R}\{\frac{\lambda}{4\pi}[\frac{\sqrt{G_l}u(t)e^{-j2\pi l/\lambda}}{l}+\frac{R\sqrt{G_r}u(t-\tau)e^{-j2\pi (x+x')/\lambda}}{x+x'}]e^{j2\pi f_ct} \}$

2-ray模型其中是地面反射信号相对于LOS信号的时延.对于2-ray模型而言，也是延迟扩展(delay spread)。是传输和接收天线在LOS方向上场辐射图样的积。R是地面的反射系数。分别是传输和接收天线在和方向上的场辐射图样。

在窄带假设 $\tau <<B_u^{-1}$ 的前提下，有
$u(t)\approx u(t-\tau)$ 在此前提下得以得到two-ray模型的接受信号功率：
$P_r=P_t[\frac{\lambda}{4\pi}]^2|\frac{\sqrt{G_l}}{l}+\frac{R\sqrt{G_r}e^{-j\Delta\phi}}{x+x'}|^2$ 其中 $\Delta\phi=2\pi (x+x'-l)/\lambda$ 是接受到的两个信号组分的相位差。

记收发天线间的水平距离为 $d$ ，发射天线的高度为 $h_t$ ，接受天线的高度为 $h_r$ 。那么有几何关系：
$x+x'-l=\sqrt{(h_t+h_r)^2+d^2}-\sqrt{(h_t-h_r)^2+d^2}$ 当 $d\gg (h_t+h_r)$ 时，可以利用上式的泰勒估计得到：
$\Delta \phi=\frac{2\pi (x+x'-l)}{\lambda}\approx\frac{4\pi h_th_r}{\lambda d}$ 在 $d$ 相对充分大时， $x+x'\approx l \approx d$ ， $\theta \approx 0$ ， $G_l\approx G_r$ ， $R\approx -1$ 。利用这些得到接受信号功率的一个估计：
$P_r\approx [\frac{\lambda \sqrt{G_l}}{4\pi d}]^2[\frac{4\pi h_th_r}{\lambda d}]^2P_t=[\frac{\sqrt{G_l}h_th_r}{d^2}]^2P_t$
2-ray模型展示了一些特点：

近距离( $d$ 较小)时，接收功率近似于与 $d^{-2}$ 成比例
远距离时，接收功率近似于与 $d^{-4}$ 成比例
在超过一定距离后，接收功率加剧衰减。这个关键距离(crirical distance $d_c$ )可以通过使 $\Delta \phi =\pi$ 估计，即 $d_c=\frac{4h_th_r}{\lambda}$
接受功率与 $\lambda$ 无关。接收信号由LOS路径和地面反射路径叠加得到，可以认为相当于两个方向天线构成的阵列，从而使信号衰减与频率无关。

General Ray Tracing

一般来说，通过给定范围内有限个障碍物的位置和介电信息，我们就可以计算信号在经过直线传播、反射、衍射、散射、绕射之后的各个组分，来叠加计算接收信号。由于Maxwell方程的求解复杂度太高(微分方程)，所以射线追踪技术仅近似的考虑电磁波的波前(wavefronts)来简化计算(简单的几何学)。

上述2-ray模型是射线追踪(ray tracing)方法的一个简单实例。更加复杂的射线追踪模型(如10-ray模型)常常在计算机软件模拟包中被使用。

简化的路径衰落模型

当路径损失主要由反射造成时(这是通常的情况)，可以使用简化的路径衰落模型：
$P_r=P_tK[\frac{d_0}{d}]^\gamma$ 其中K是一个无单位的常数，由天线特性和平均信道特性决定。 $d_0$ 是天线远场的参考距离。 $\gamma$ 是路径衰落指数，在不同的环境下由经验数据得到。

环境	$\gamma$ 范围
城市宏单元	3.7-6.5
城市微单元	2.7-3.5
办公楼(同层)	1.6-3.5
办公楼(多层)	2-6
商店	1.8-2.2
工厂	1.6-3.3
住宅	3

特别的，由于天线近场的散射现象，以上模型应仅在远场使用，即 $d>d_0$ 时。

毫米波衰落模型

毫米波通信的载波频率在60-100GHz
毫米波的衰落模型目前还在发展中
路径衰落与 $\lambda ^2$ 成比例，而 $\lambda$ 很大
受氧气化学性质影响，在60GHz(以及120GHz,180Ghz)时存在严重的衰落
雨水也会造成严重的衰落
毫米波通信系统需要通过massive MIMO应对衰落，且通信范围可能较小

基于经验的信道模型

难以通过以上涉及方法的复杂环境下，可以使用经验模型。经验模型通常用于蜂窝网络(早期蜂窝网络，LTE，5G)以及WiFi系统的模拟。

阴影衰落模型

阴影衰落来自信号传输途径上的障碍物。因为障碍物的数量、位置、尺寸、形状、介电性质、反射面、散射对象等具有随机性，所以我们需要用概率模型来描述阴影衰落。

通常，阴影衰落服从对数正态分布(log-normal distribution)，这一点可以通过中心极限法制(cental limit theorem, CLT)来解释。

在对数正态分布模型中，传输接收功率比 $\psi=P_t/P_r$ 服从这样的分布律：
$p(\psi)=\frac{\xi}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\psi_{dB}}\psi}\exp[-\frac{(10\log_{10}\psi-\mu_{\psi_{dB}})^2}{2\sigma_{\psi_{dB}}^2}],\psi>0$ 其中 $\xi =10/\ln10$ ， $\psi_{dB}=10\log_{10}\psi$ 。 $\mu_{\psi_{dB}}$ 和 $\sigma_{\psi_{dB}}$ 分别指 $\psi_{dB}$ 按分贝计算的均值和方差。

去相关距离

假定阴影衰落 $\psi(d)$ 是一个一阶自回归过程，距离为 $\delta$ 的两点的阴影衰落的协方差为：
$A(\delta)=\sigma_{\psi_{dB}}^2\rho_D^{\delta/D}$ 其中 $\rho_D$ 是相隔固定距离 $D$ 的两点的标准化的协方差，它必须通过经验数据得到，与环境和载波频率有关。这个模型可以进行简化并去掉对经验数据的依赖，通过使 $\rho_D=1/e, D=X_c$ ，此时有：
$A(\delta)=\sigma_{\psi_{dB}}^2e^{-\delta/X_c}=\sigma_{\psi_{dB}}^2e^{-v\tau/X_c}$ 其中 $Xc$ 是去相关距离，其值与环境有关。经验上 $4<\sigma<12$ 。

阴影衰落与路径衰落的混合

对数形式：
$\frac{P_r}{P_t}(dB)=10\log_{10}K-10\gamma\log_{10}\frac{d}{d_0}-\psi_{dB}$
$\psi_{dB}\sim N(\mu_\psi,\sigma_\psi^2)$ 线性形式：
$\frac{P_r}{P_t}=K(\frac{d_0}{d})^\gamma\psi$
$\psi\sim log-normal$
可以将平均阴影衰落的效果整合到 $K$ 和 $\gamma$ 中体现，此时 $\mu_\psi=0$ 。

中断概率(outage probability)

中断概率指接收功率衰减到小于一个给定值（服务质量不可接受的临界）的概率：
$P_{out}=p(P_r\lt P_{min})$ 如果只考虑路径衰落，那么最小功率的覆盖范围应该是圆形的。而加上阴影衰落后，覆盖范围被就变成一个不规则图形。

覆盖范围
对于对数正态阴影衰落：
其中Q指Q函数。

通过经验数据得到模型参数

$K$ 通过在 $d_0$ 处的测量得到
得到后通过通过最小化模型预测值和测量数据值间的MSE来得到
- 也可以对 $(K,\gamma)$ 同时最小化MSE来得到它们
信道的平均衰落性质已经被 $(K,\gamma)$ 体现，不管是来自路径衰落还是阴影衰落，所以 $\mu_{\psi_{dB}}=0$
$\sigma_\psi^2$ 通过对 $\gamma$ 最小化的MSE得到：
$\sigma_\psi^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}[M_{\mathrm{measured}}(d_i)-M_{\mathrm{model}(d_i)}]^2$