计算多边形质心，纯机翻

2022-11-04 本文已影响0人寽虎非虫003

来源

https://math.stackexchange.com/questions/90463/how-can-i-calculate-the-centroid-of-polygon。
这里面的杰罗姆(Jerome)，我没有理解错的话，就是指多边形。

正文

皱眉。我想知道如何建立和解决这个问题。一个解总是可以转化为一个公式。相反的情况——通过观察公式来找出问题是如何解决的——是非常困难的。所以我会从零开始解决问题。

可以在这里找到以下方法的工作演示。链接的文档是一个Geogebra工作表;请随意下载它，检查代码，并根据您的需要使用它。

A:观察

三角形 $\Delta ABC$ 的质心是其顶点的简单平均值:

$\;\;\; d = (a + b + c)/3$ 。

什么?点的顺序在这里不重要取顶点A B C，以任何顺序，它们都是同一个三角形。为了证明公式的正确性，我可以对三角形的面积进行积分;求出ABC图的平衡点;或者，用圆规和直尺画出中线的交点。我说，在任何情况下，要点都是一样的。

B .过程

我会把这个问题转化成我知道如何解决的问题:

命题:求一组加权点的质心。

把杰罗姆切成相互排斥的三角形。

假设有m个三角形。对于每个三角形 $\;\Delta_k， \;k = 1,2，\ldots, m，\;$ 找到质心 $C_k$ 和面积(权值) $w_k$ 。加权点集合为 $[\frac{w_k C_k}{J}]，$ 其中J是Jerome的面积。

解决方法:把它们加起来。得到的点就是多边形的质心。

我有一个通解(我总是可以执行这个程序)。但它很混乱:我没有三角剖分规则。现在怎么办呢?总结的好方法是从我能解决的案子开始。

C.案例:杰罗姆是凸的

众所周知，给定凸多边形 $P$ ，我们可以选择任意顶点， $V，$ 从 $V$ 到每一个非相邻顶点绘制分段， $P$ 被正确三角化。

我还将使用以下公式:

-设 $\Delta ABC$ 的任意两边为向量 ${\rm u =(u_1, u_2),\;\; v= (v_1, v_2)}.\;$ 接着
$\;\;\;{\rm Area}_{\Delta ABC} = \tfrac{1}{2}|{\rm u \times v}|,\;\;\;\;\;$ 其中(行列式) ${\rm u \times v}={\rm u_1 v_2-u_2 v_1}$ .

-设 $\Delta ABC$ 的 $AB, AC$ 为向量 ${\rm u, v}.\;$ 则可以得到质心D= (A+B+C)/3

$\;\;\;D = A + \tfrac{1}{3}|{\rm u + v}|.$

我已经收集了我需要的东西。

D .的解决方案

让n的逆时针路径，按顺序，由

$\;\;[A_i] = A_1, A_2， \ldots, A_n$

为了方便起见，我选择 $V=A_1$ 。

画出从 $A_1$ 到其他顶点的n-1个向量:

$\;\;[{\rm a_i}] = (A_{k+1}-A_1),\;\; k = 1, 2, \ldots n\!-\!1$

有n-2个带质心的相邻三角形

$\;\;[C_i] = A_1 + \tfrac{1}{3}{\rm (a_k+a_{k+1})},\;\; k = 1, 2, \ldots n\!-\!2$

和面积(权重)

$\;\;[w_i] = \tfrac{1}{2}{\rm (a_k\times a_{k+1})},\;\; k = 1, 2, \ldots n\!-\!2$

(我去掉了绝对值:逆时针， ${\rm u \times v}$ 是正的。)然后

总面积= $\sum_{k=1}^{n-2} w_k$ 和

Jerome的质心 $C_J$ 是三角形的加权三角形的和，除以总面积:

$\;\;C_J= {\large \frac{\sum_{k=1}^{n-2} w_k C_k}{\sum_{k=1}^{n-2} w_k}}$ ,

可以写成

$(2)\;\;C_J= A_1+{\large \frac{1}{3} \frac{\sum_{k=1}^{n-2} ({\rm a_k+ a_{k+1}})({\rm a_k \times a_{k+1}})}{\sum_{k=1}^{n-2} ({\rm a_k \times a_{k+1}})} }$

我说，这实际上是完整的解行列式给出有符号的区域:+/-根据从 $A_k$ 到 $A_{k+1}$ 的旋转方向，大约 $A_1$ 是正的或负的，在任何情况下都保留度量。

这就是要做的事。

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