微积分的本质（1）

1. 微积分的本质

微积分的三个中心思想：积分、微分、两者互逆。
把圆环从里到外叠加，最后园的面积等价于三角形
曲线下面的面积就是汽车行驶的距离
我们可以不知道A（x）是什么函数，但可以知道这个函数近似于∑X2dx

• 微积分基本定理：积分与导数之间的来回转化关系，也就是某个图像下方面积函数的导数能够还原出定义这个图像的函数。它将积分和导数两大概念联系起来。

2. 导数的悖论

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• 当dt ➡️0时，两个点无限趋近与一个点

  
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• 把t3 函数带入，t 无限小的话，后面两项可以忽略，那么导数（斜率）为12.

  
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3. 用几何来求导

• 微小的变化才是导数的意义。
• 在一个公式f(x)中，当我们的x轴取值发生了dx的微小变化时，相应的在y轴产生了一个df的变化。

• df/dx也就是这个变化的变化率。这就是导数的意义。

  
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• 我们用y值的变化d(sin(θ))/dθ，从图中的相似三角形可以看出，正好是邻边比斜边的，也就是cos(θ)

  
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4. 直观理解链式法则和乘积法则

4.1 加法法则

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• 现在我们将sin(x)和x²的函数曲线相加，我们在坐标系中得到两个函数曲线，让后将每一个点上的值都相加我们会得到一个新的函数曲线就是f(x)=sin(x)+x²的函数曲线：

  
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4.2 乘积法则

• 图中右侧横着的绿色方块它的宽度就是sin(x)的值。高度是x²随着x的变化而产生的变化，也就是d(x²)。这个方块的面积就是sin(x)*d(x²)
• 图中右侧竖着的绿色方块它的宽高就是x²的值。高度是sin(x)随着x的变化而产生的变化，也就是d(sin(x))。这个方块的面积就是x²*d(sin(x))
• 而最右侧的小方块则再一次的被忽略。
• 那么总的面积变化就是sin(x)d(x²)+x²d(sin(x))，我们知道面积与f(x)是相等的则
• df=sin(x)d(x²)+x²d(sin(x))
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• 所以我们得到了乘积公式：

  
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4.3 复合函数

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