LeetCode题解：爬楼梯

题目描述

假设你在爬楼梯。需要n阶你才能爬到楼顶。
每次你可以爬1到2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例

• 示例1
  输入：n = 2
  输出：2
  解释：有两种方法可以爬到楼顶。
  1：1 阶 + 1 阶
  2 ：2 阶
• 示例2
  输入：n = 3
  输出：3
  解释：有三种方法可以爬到楼顶。
  1：1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  2：1 阶 + 2 阶
  3：2 阶 + 1 阶

思路方法

递归法

我们用 f(x) 表示爬到第 x 级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶，也可能跨了两级台阶，所以我们可以列出如下式子：
f(x)=f(x−1)+f(x−2)
它意味着爬到第 xx 级台阶的方案数是爬到第 x - 1级台阶的方案数和爬到第 x - 2级台阶的方案数的和。很好理解，因为每次只能爬 1 级或 2 级，所以 f(x)只能从 f(x - 1)和 f(x - 2) 转移过来，而这里要统计方案总数，我们就需要对这两项的贡献求和。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1){
            return 1;
        }
        if(n==2){
            return 2;
        }
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(2^n)
• 空间复杂度：O(n)

动态规划

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1){
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i=3;i<n+1;i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)