位运算数学意义及应用场景

简介

梳理一下位运算定义、数学意义以及它的应用场景，在日常编码中能给我们带来什么提升。

运算定义

了解原码反码和补码

• 定义：正数的二进制即为原码，负数的二级制为正数的反码再补码，反码将二进制数按位取反(1变0,0变1)，补码对反码加1
• 案例 -5

原码：00000000 00000000 00000000 00000101
反码：11111111 11111111 11111111 11111010
补码：11111111 11111111 11111111 11111011

<<(左移)

• 运算规则：
  按二进制形式把所有的数字向左移动对应的位数，高位移出(舍弃)，低位的空位补零。
• 案例： 3 << 2，则是将数字3左移2位
  计算过程：
  3 << 2 首先把3转换为二进制数字0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011，然后把该数字高位(左侧)的两个零移出，其他的数字都朝左平移2位，最后在低位(右侧)的两个空位补零。则得到的最终结果是0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100，则转换为十进制是12。
• 数学意义
  如果是10进制向左移动一位，是不是就成了10倍，移两位乘100倍，所以在数字没有溢出的前提下，对于正数和负数，二进制左移左移n位就相当于乘以2的n次方。

>> (带符号右移)

• 运算规则：
  按二进制形式把所有的数字向右移动对应的位数，低位移出(舍弃)，高位的空位补符号位，即正数补零，负数补1。
• 案例11 >> 2，则是将数字11右移2位
  计算过程：
  11 的二进制形式为：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011，然后把低位的最后两个数字移出，因为该数字是正数，所以在高位补零。则得到的最终结果是0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010。转换为十进制是2。
• 数学意义
  右移一位相当于除2，右移n位相当于除以2的n次方(取整)。

>>> (不带符号右移)

• 运算规则：
  按二进制形式把所有的数字向右移动对应的位数，低位移出(舍弃)，符号位的空位补0，即正数。

&(按位与)

• 运算规则：将2个操作数都转为二进制，第一个操作数的的第n位与第二个操作数的第n位如果都是1，那么结果的第n为也为1，否则为0
• 案例 5 & 3

计算过程：
5 转换为二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
3 转换为二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011
计  算  结  果：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

|(按位或)

• 运算规则：第一个操作数的的第n位于第二个操作数的第n位 只要有一个是1，那么结果的第n为也为1，否则为0
• 案例 5 | 3

计算过程：
5 转换为二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
3 转换为二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011
计  算  结  果：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111

^(位异或)

• 运算规则：第一个操作数的的第n位于第二个操作数的第n位 相反，那么结果的第n为也为1，否则为0
• 案例 5 & 3

计算过程：
5 转换为二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
3 转换为二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011
计  算  结  果：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110

~(位非即反码)

• 运算规则：操作数的第n位为1，那么结果的第n位为0，反之为1。
• ~5

计算过程：
5 转换为二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
计  算  结  果：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010

实际应用

判断奇偶

a&1 == 0 ; //偶数
a&1 == 1;  //奇数

整数平均数

// (x+y)/2可能产生溢出
int average(int x, int y) {   
     return (x&y)+((x^y)>>1);
}

不用临时变量交换两个数

x ^= y;
y ^= x;
x ^= y;

状态标识

商品有多种状态，比如是否支持货到付款、是否虚拟商品、是否预售商品、是否图书商品、是否可开增票等，我们可以用五位的二进制来标识对应的状态，如10010，表示该商品是支持货到付款的图书商品

趣味案例

有 1000 个一模一样的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在，你只有 10 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？

• 把所有的瓶子按照二进制标号，10个老鼠对应二进制10个位，将所有瓶子位的值为1的液体喂给对应位的老鼠，最后将死亡的老鼠组合起二进制数就可以判断哪一瓶是毒药