002-矩阵求导

2021-01-20 本文已影响0人不懂球的2大业

对于 $\frac {df(x)} {dx}$ ，分以下三种情况讨论：
1. $f(x)$ 为标量， $x$ 为向量；
2. $f(x)$ 为向量， $x$ 为标量；
3. $f(x)$ 为向量， $x$ 为标量。

1. $f(x)$ 为标量， $x$ 为向量

其中， $x = (x_{1},x_{2},...,x_{n})^{T}$ ， $f(x) = f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ 。
则： $\frac {df(x)} {dx} =$ $\begin{bmatrix} \frac {\partial {f(x)}} {x_{1}} \\ \frac {\partial {f(x)}} {x_{2}} \\...\\ \frac {\partial {f(x)}} {x_{n}} \end{bmatrix}$

2. $f(x)$ 为矢量， $x$ 为标量

其中， $f(x) = (f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x))$ 。
则： $\frac {df(x)} {dx} =$ $\begin{bmatrix} \frac {df_{1}(x)} {dx} , \frac {df_{2}(x)} {dx} , ..., \frac {df_{n}(x)} {dx}\\ \end{bmatrix}$

3. $f(x)$ 为矢量， $x$ 为矢量

其中， $x = (x_{1},x_{2},...,x_{n})^{T}$ ， $f(x) = [f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,f_{m}(x_{1},x_{2},...,x_{n})]$ 。
则： $\frac {df(x)} {dx} =$ $\begin{pmatrix} \frac {\partial {f_{1}(x)}}{\partial {x_{1}}}&\frac {\partial {f_{2}(x)}}{\partial {x_{1}}}&\frac {\partial {f_{3}(x)}}{\partial {x_{1}}}&\cdots&\frac {\partial {f_{m}(x)}}{\partial {x_{1}}}\\ \frac {\partial {f_{1}(x)}}{\partial {x_{2}}}& \frac {\partial {f_{2}(x)}}{\partial {x_{2}}} &\frac {\partial {f_{3}(x)}}{\partial {x_{2}}}&\cdots&\frac {\partial {f_{m}(x)}}{\partial {x_{2}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac {\partial {f_{1}(x)}}{\partial {x_{n}}}&\frac {\partial {f_{2}(x)}}{\partial {x_{n}}}&\frac {\partial {f_{3}(x)}}{\partial {x_{n}}}&\cdots&\frac {\partial {f_{m}(x)}}{\partial {x_{n}}}\\ \end{pmatrix}$