天才伽罗瓦一不小心创建了 群论，将数学从数和形的研究跃升到从系统层面在抽象空间(容纳对象及其运动场所)上研究结构(运算)的范式转换，开启了数学研究整个代数系统结构以及其中对象及其运动特点问题 ，有群内部特点，通过群作用（群元素对集合或者群进行“乘法”操作）研究系统间影响关系。而且在物理和化学上有着辉煌应用。

一、研究系统结构特点方法

1、分类简化

通过某个标准（合成法则/运算规则）选择适当规则（群四点，公设）分类得到有应用意义的不同结构类别（不同的群）。 或者再加上一些限制条件，构成环、域或线性空间等。研究一个内容就能解决这个系统中不同对象面临的共同问题。解决问题的方式从单个问题的突破到一次解决一大类问题的突破。

2、结论推广

在一个类别中即可以通过抽象研究（抽象群）得到一些明显结论，还通过只研究其中一个典型代表（典型群，如有目的构造可逆矩阵的子群形成的线性群）得到相应的结论再直接应用到同构或者同态的系统去。

3、分而治之

对于复杂系统（群），通过研究具有简单结构的部分（子群）得到系统总体结构（群）特点。 一种核心的有效方法论。

二、研究对象运动特点并分类

1、运动完全不变性（对称/自同构）

群元素满足一定条件（单位元、结合律）作用于（合成法则）一个集合，这些对象就具有完全一致性，同构（保持运算不变的一一对应）的对象在数学上被认为是完全一样。这在物理和化学中用处极广。

2、 运动近似不变性（同态）

群元素以线形算子作用于向量空间情形。同态（保持运算不变的 n:1 映射、函数）让运动对象得到近似划分。而运动过程中算子作用的同态映射（群表示）是用一个矩阵来表表示的，也再次说明矩阵表示线形空间中一种运动，对于理解矩阵本质也很有好处。
分类、从典型得到一般、研究部分得到整体、研究运动不变性，这些系统研究方法不仅在 群 中使用，其他数学结构（如李群、环、域、模等）也可以使用。群的观念和方法深刻影响了当代基础数学研究，成为一种新的范式，也是当代数学一个活跃的研究领域。通过研究一个对象而得到相似一大类别的解决方法，并且还可以用于预测实在是一个好的方式。

三、科学上应用

通过群作用（群元素对一个集合的合成法则）得到的置换群 研究具象和抽象对称在物理、化学上大放异彩。
几何晶体学中空间对称晶体的可能形状，关于时间、空间平移及旋转的守恒量、量子系统对称性等。当然，还有四大基本力的大一统理论也是需要一套理论来实现“对称”从而让四种力同构，遗憾引力没有纳入进来。
化学中研究分子及外围电子轨道杂化、对称性，震动光谱中应用等，即能预测分子的化学性能又能
说实话，光环满满的高斯成果虽然丰富，但是都是对既有领域的深化和拓展，而少年 伽罗瓦 却是凭借一己之力从无到有创建了一个宏伟大厦，而且让“群”成了当代数学一个基本概念。可惜这样的一位绝对在数学史上可以排入前五少年在21岁的美好年华就消失了，让人唏嘘不已。