高等数学上期末卷题选(2)

2018-11-12 本文已影响31人溺于恐

1. $设f(x)=\int_{-1}^xsint^3dt$ ,则 $f(1)=\_\_\_\_\_$ , $f'(x)=\_\_\_\_$ , $f^{(10)}(0)=\_\_\_\_\_$

解：

$f(1)=\int_{-1}^1sint^3dt=0$

$f'(x)=sint^3$

$f^{(10)}(x)=[f'(x)]^{(9)}=(sint^3)^{(9)}$

$由Maclaurin公式$

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+o(x^n)$

$\therefore sint^3=t^3-\frac{t^9}{3!}+\frac{t^{15}}{5!}-\cdots+o(t^{3n})$

$f^{(10)}(0)=[(sin0)]^{(9)}=0-\frac{9!}{3!}+0-\cdots+0=-\frac{9!}{6}$

2.求函数 $f(x)=e^xcosx$ 的极大值和极小值

解：

$f'(x)=e^xcosx-e^xsinx=e^x(cosx-sinx)$

$令f'(x)=0得驻点x_k=\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in Z$

$f''(x)=e^x(cosx-sinx)+e^x(-sinx-cosx)=-2e^xsinx$

$当k为偶数时,$
$f''(x_k)=- \sqrt{2}e^{x_k} \lt 0,f(x_k)={\sqrt{2} \over 2}e^{x_k}为极大值$

$当k为奇数时,$
$f''(x_k)= \sqrt{2}e^{x_k}\gt 0,f(x_k)=-{\sqrt{2}\over 2}e^{x_k}为极小值$

3. $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(4-x^2)^3}}dx$

解：

$令x=2sint,则t=arcsin\frac{x}{2}$

$原式=\int_0^{\pi \over 6}{1 \over \sqrt{(4-4sin^2t)^3}}d(2sint)$

$=\int_0^{\pi\over 6}{1\over 8cos^3t}2costdt$

$=\frac{1}{4}\int_0^\frac{\pi}{6}sec^2tdt$

$=\frac{1}{4}tant|_0^\frac{\pi}{6}$

$=\frac{\sqrt3}{12}$

4. $\int_1^{+\infty}\frac{lnx}{x^2}dx$

解：

$原式=-\int_1^{+\infty}lnxd(\frac{1}{x})$

$=-\frac{lnx}{x}|_1^{+\infty}+\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$

$=0-\frac{1}{x}|_1^{+\infty}=1$

5.设 $f(x)$ 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 $\int_0^1f(x)dx=0$ .

证明： $\exists\xi\in(0, 1)$ 满足 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$ .

证：

$由积分中值定理知,\exists a\in(0,1)使得$

$f(a)=\int_0^1f(x)dx=0$

$设g(x)=xf(x),则g(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,$

$且g(0)=g(a)=0$

$由Rolle定理知,\exists\xi\in(0,a),使得$

$g'(\xi)=0$

$即f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$

6.设曲线 $y=ax^2(a\gt0,x\ge0)$ 与 $y=1-x^2$ 交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线 $y=ax^2$ 围成一平面图形,如图1-1,a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最大.

1-1

解：

$依题意得A({1\over \sqrt{a+1}},{a\over a+1})$

$\therefore 直线OA：y=\frac{a}{\sqrt{a+1}}x$

$旋转体体积为$

$V= \int_0^{1\over \sqrt{a+1}}[\pi({a \over \sqrt{a+1}}x)^2-\pi(ax^2)^2]dx$

$=\pi\int_0^\frac{1}{\sqrt{a+1}}(\frac{a^2x^2}{a+1}-a^2x^4)dx$

$=\pi[\frac{a^2x^3}{3(a+1)}-\frac{a^2x^5}{5}]|_0^\frac{1}{\sqrt{a+1}}=\frac{2\pi a^2}{15(a+1)^\frac{5}{2}}$

$\frac{dV}{da}=\frac{2\pi}{15}\frac{2a(a+1)^\frac{5}{2}-a^2\frac{5}{2}(a+1)^\frac{3}{2}}{(a+1)^5}=\frac{\pi a(4-a)}{15(a+1)^\frac{7}{2}}$

$令\frac{dV}{da}=0得唯一驻点a=4,此时旋转体体积V最大.$

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