数学小知识

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范数

范数是一种更宽泛的长度（距离）概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。

$|| x ||_1 = \sum_{i=1}^{n} |x|$

表示向量中各个元素（坐标值）的绝对值之和，L1范数又被称作曼哈顿距离、最小绝对误差等。使用L1范数可以衡量两个向量间的差异，如绝对误差和：
$\sum_{i=1}^{n} |x_{1i} - x_{2i}|$

由于L1范数的天然性质，如果把L1范数作为目标函数进行优化，其解为一个稀疏解，因此L1范数也被叫做稀疏规则算子。通过L1可以实现特征的稀疏，去掉一些没有用的特征从而降低特征的维度。

matlab调用函数norm(x, 1) 。

L2范数是一种最常用的范数，应用十分广泛，我们用的最多的度量距离的方式——欧式距离就是一种L2范数，定义如下：

$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$
像L1范数一样，L2范数也可以度量两向量之间的差异，如最小均方误差。

matlab调用函数norm(x, 2)。

它主要被用来度量向量元素的最大值，定义如下：
$||x||_{\infty} = max(|x_0|,...,|x_i|,...,|x_n|)$

matlab调用函数norm(x, p)。

列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。
$||A||_1 = \operatorname*{\,max}_j \sum_{i=1}^{N} |a_{i,j}|$

谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。
$||A||_2 = \sqrt{\lambda_1} ,\lambda < br /> 为A^T A 的最大特征值$

行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。
$||A||_\infty = \operatorname*{\,max}_i \sum_{j=1}^{N} |a_{i,j}|$

Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。
$||A||_F= \left(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_(i,j)|^2 \right)^\frac{1}{2}$

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