全国大学生数学夏令营数学竞赛——高代部分

2019-03-29 本文已影响0人抄书侠

简介

这个夏令营于上世纪九十年代举办，受到数学科学院的重视，共举办了八届，每一届招收40人左右，让年轻的一代相互交流，现在营员大多成长为了年轻的数学家。

第一届

1.2设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵.试证： $A$ 对称当且仅当 $A A^{\prime}=A^{2}$
Tips:法一： $K=A-A'$ 考察 $tr(KK')$
法二： $A$ 可逆显然， $A$ 不可逆，有 $0$ 为特征值，归纳。
法三：酉相似
1.4求下列方程的实根 $x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}$
1.5设 $\varphi(a,a)$ 为线性空间 $L$ 上的二次型， $L=L_1\oplus L_2$ 为两个低维子空间的直接和、 $\varphi$ 在 $L_1$ 上正定，在 $L_2$ 上负定，试证，二次型 $\varphi$ 的符号差为 $dimL_1 -dimL_2$ .